Теорема Гарді

Теорема Гарді — твердження в аналізі про властивості голоморфних та субгармонічних функцій. Названа на честь англійського математика Ґодфрі Гарольда Гарді, який довів твердження для модулів голоморфних функцій у 1915 році. Теорема є відправною точкою для означення і дослідження просторів Гарді.

Твердження

Нехай функція $f$ є субгармонічною в крузі $B(0,R)=\{z:|z|<R\}$ (функцію можна інтерпретувати, як функцію двох дійсних змінних або комплексної змінної). Тоді функція

$I_f(r)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f(r{e}^{i\phi })|d\phi ,$

не спадає при $r\in (0;R)$ і є опуклою, як функція $\log r$.

Нехай функція $f$ є голоморфною в крузі $B(0,R)=\{z:|z|<R\}$. Тоді для $0<p⩽\mathrm{\infty }$ функція

$I_p(f,r)={(\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f(r{e}^{i\phi }){|}^{p}d\phi )}^{\frac{1}{p}},$

не спадає при $r\in (0;R)$ і є опуклою, як функція $\log r$. Крім того, якщо $f$ не є константою, то $I_p(f,r)$ є строго зростаючою.

Доведення

Випадок субгармонічних функцій

Доведення подано для випадку неперервних субгармонічних функцій.

Нехай $0⩽r_1<r_2<R.$ Позначимо $U(z):\overline{B(0,r_2)}\to ℝ$ — розв'язок задачі Діріхле на $\overline{B(0,r_2)},$ що задовольняє граничну умову $U(\partial B(0,r_2))=f(\partial B(0,r_2)).$ Цей розв'язок завжди існує і є єдиним, функція $U(z)$ є гармонічною у $B(0,r_2).$ З означення субгармонічних функцій випливає, що $f(z)⩽U(z),\mathrm{\forall }z\in B(0,r_2).$

З властивостей гармонічних функцій

$\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|U(r_1{e}^{i\phi })|d\phi =\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|U(r_2{e}^{i\phi })|d\phi =\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f(r_2{e}^{i\phi })|d\phi =U(0).$

Тому:

$I_f(r_1)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f(r_1{e}^{i\phi })|d\phi ⩽\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|U(r_1{e}^{i\phi })|d\phi =\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|U(r_2{e}^{i\phi })|d\phi =I_f(r_2).$

Для доведення опуклості нехай $0<r_1<r_2<R$ і нехай $U(z):R(0;r_1,r_2)=\{r_1⩽|z|⩽r_2\}\to ℝ$ — розв'язок задачі Діріхле на $\overline{R(0;r_1,r_2)},$ що задовольняє граничні умови $U(\partial B(0,r_1))=f(\partial B(0,r_1))$ і $U(\partial B(0,r_2))=f(\partial B(0,r_2)).$ Цей розв'язок завжди існує і є єдиним, функція $U(z)$ є гармонічною у $R(0;r_1,r_2).$

З властивостей субгармонічних функцій випливає, що $f(z)⩽U(z),\mathrm{\forall }z\in R(0;r_1,r_2)$ і тому

$I_f(r)⩽\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}U(r{e}^{i\phi })d\phi ,\mathrm{\forall }{r}_1⩽r⩽r_2.$

Якщо тепер взяти похідну по r із правої сторони останньої нерівності, то:

$\frac{d}{dr}(\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}U(r{e}^{i\phi })d\phi )=\frac{d}{dr}(\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}U(r\cos \phi ,r\sin \phi )d\phi )=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\cos \phi U_x(r\cos \phi ,r\sin \phi )+\sin \phi U_y(r\cos \phi ,r\sin \phi )d\phi =\frac{1}{r}\underset{C_r}{\int }\frac{\partial U}{\partial n}ds.$

У попередніх рівностях останній інтеграл є криволінійним інтегралом I роду, $\frac{\partial U}{\partial n}$ — похідна у напрямку нормалі до кола, а $C_r$ позначає коло радіуса r.

Для гармонічних функцій у кільці для всіх $r_1⩽r{r}_2$ вираз $\underset{C_r}{\int }\frac{\partial U}{\partial n}ds$ є константою. Тому із попереднього $I_f(r)⩽a\log r+b$ і до того ж у точках $r_1,r_2$ виконується рівність. Тому $I_f(r)$ є опуклою функцією від $\log r.$

Випадок голоморфних функцій

Для випадку $p=\mathrm{\infty }$ твердження для функції $I_{\mathrm{\infty }}(f,r)=\underset{0⩽\phi <2\pi }{\max }|f(r{e}^{i\phi })|$ випливає із принципу максимуму модуля і теореми Адамара про три кола.

Для голоморфної функції $f(z)$ функція $|f(z){|}^p,p>0$ є субгармонічною функцією. Тому $I_p(f,r)$ є неспадною функцією.

Якщо додатково $f(z)$ не є константою, то при тих же позначеннях, що і вище, якщо $U(z):\overline{B(0,r_2)}\to ℝ$ — розв'язок задачі Діріхле на $\overline{B(0,r_2)},$ що задовольняє граничну умову $U(\partial B(0,r_2))=f(\partial B(0,r_2)),$ то виконується строга нерівність $f(z)<U(z),\mathrm{\forall }z\in B(0,r_2).$

Справді, якщо $f(z_0)=0,$ то $f(z_0)<U(0),$ бо інакше з принципу максимуму для гармонічних функцій $U(z),$ а тому і $f(z)$ всюди були б рівними нулю. Якщо $f(z_0)=0,$ то існує круг $B(z_0,t)\subset B(0,R)$ в усіх точках якого функція не є рівною нулю. Оскільки $f(z)$ є голоморфною в $B(z_0,t)$ і не є константою (що є наслідком теореми про рівність), то аргумент $f(z)$ не є константою. Нехай точки $z_1,z_2\in B(z_0,t)$ такі значення аргумента в яких є різними. Тоді $\frac{|f(z_1)+f(z_2)|}{|f(z_1)|+|f(z_2)|}=1-2\epsilon <1-\epsilon$ для деякого $\epsilon >0.$

Оскільки $U(z),f(z)$ є гармонічною і голоморфною функціями в околі $B(z_0,t),$ то за властивостями про середнє:

$U(z_0)=\frac{1}{\pi t^2}\int \underset{B(z_0,t)}{\int }U(z)dV,$

$f(z_0)=\frac{1}{\pi t^2}\int \underset{B(z_0,t)}{\int }f(z)dV,$

Тому :$|f(z_0)|⩽\frac{1}{\pi t^2}\int \underset{B(z_0,t)}{\int }|f(z)|dV⩽\frac{1}{\pi t^2}\int \underset{B(z_0,t)}{\int }U(z)dV=U(z_0).$ Тож для доведення $f(z)<U(z)$ достатньо довести, що перша нерівність є строгою.

Для цього достатньо знайти підмножину $\mathrm{\Omega }\subset B(z_0,t)$ для якої $|\int \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(z)dV|<\int \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f(z)|dV.$ Для цього для вказаних вище точок $z_1,z_2$ можна знайти околи ${\mathrm{\Omega }}_1,{\mathrm{\Omega }}_2$ з однаковою площею $\sigma .$ Тоді $\int \underset{{\mathrm{\Omega }}_1}{\int }f(z)dV=(\sigma f(z_1)+{\delta }_1)$ і $\int \underset{{\mathrm{\Omega }}_2}{\int }f(z)dV=\sigma (f(z_2)+{\delta }_2),$ де ${\delta }_1,{\delta }_2$ комплексні числа які можна зробити як завгодно малими зменшивши ${\mathrm{\Omega }}_1,{\mathrm{\Omega }}_2.$

Подібно $\int \underset{{\mathrm{\Omega }}_1}{\int }|f(z)|dV=\sigma (|f(z_1)|+{\delta }_3)$ і $\int \underset{{\mathrm{\Omega }}_2}{\int }|f(z)|dV=\sigma (|f(z_2)|+{\delta }_4),$ де ${\delta }_3,{\delta }_4$ дійсні числа які можна зробити як завгодно малими зменшивши ${\mathrm{\Omega }}_1,{\mathrm{\Omega }}_2.$

Тоді маємо

$\frac{|\int \underset{{\mathrm{\Omega }}_1}{\int }f(z)dV+\int \underset{{\mathrm{\Omega }}_2}{\int }f(z)dV|}{|\int \underset{{\mathrm{\Omega }}_1}{\int }f(z)dV|+|\int \underset{{\mathrm{\Omega }}_2}{\int }f(z)dV|}=\frac{|\sigma (f(z_1)+f(z_2)+{\delta }_1+{\delta }_2)|}{\sigma (|f(z_1)|+|f(z_2)|+{\delta }_3+{\delta }_4}$

Звідси випливає, що для достатньо малих околів ${\mathrm{\Omega }}_1,{\mathrm{\Omega }}_2$ останній вираз прямує до $\frac{|f(z_1)+f(z_2)|}{|f(z_1)|+|f(z_2)|}$ і тому для деяких околів є меншим одиниці. Якщо позначити $\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_1\cup {\mathrm{\Omega }}_2,$ то звідси випливає $|\int \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(z)dV|<\int \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f(z)|dV$ і зрештою $f(z_0)<U(z_0).$

Тоді у доведенні, як у випадку субгармонічних функцій зважаючи на строгу нерівність також будемо мати $I_1(f,r_1)<I_1(f,r_2).$

Для довільного p нерівність між $|f(z){|}^p$ і відповідною гармонічною функцією теж має місце. Для $f|z{|}^p=0$ доведення аналогічне попередньому в іншому випадку локально $|f(z){|}^p$ є модулем однозначної голоморфної функції $(f(z){)}^p$ і можна використати попереднє доведення. Далі аналогічно $I_p(f,r_1)<I_p(f,r_2).$

Опуклість прямо випливає із твердження для субгармонічних функцій.

Узагальнення

• Функція $I_p(f,r)$насправді є навіть логарифмічно опуклою.
• Теорему для субгармонічних функцій можна узагальнити на випадок вищих розмірностей:

Нехай функція $f$ є субгармонічною в кулі $B_n(0,R)=\{x\in {ℝ}^n:|x|<R\}$. Введемо функцію

$I_f(r)=\frac{1}{\sigma }\underset{S_n(0,R)}{\int }f(x)d\sigma ,$ де $S_n(0,R)=\{x\in {ℝ}^n:|x|=R\}$і інтеграл береться по цій сфері, а $\sigma$ — площа поверхні цієї сфери.

Тоді функція $I_f(r)$не спадає при $r\in (0;R)$ і є опуклою, як функція $\log r$ для $n=2$і як функція $\frac{1}{r^{n-2}}$ для $n=3$.

Див. також

• Гармонічна функція
• Голоморфна функція
• Принцип максимуму модуля
• Субгармонічна функція
• Теорема Адамара про три кола

Джерела

• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Πρивалов И. И., Субгармонические функции, М.—Л., 1937;
• Шаблон:Citation
• Шаблон:PlanetMath