Тензорний добуток

Тензорний добуток — операція над лінійними просторами, а також над елементами (векторами, матрицями, операторами, тензорами тощо) просторів, що перемножуються.

Тензорний добуток лінійних просторів $A$ і $B$ є лінійний простір, що позначається $A\otimes B$, для елементів $a\in A$ і $b\in B$, їх тензорний добуток $a\otimes b$ лежить у просторі $A\otimes B$.

Позначення тензорного добутку виникло аналогічно позначенню декартового добутку множин.

Тензорний добуток векторних просторів

Скінченновимірні простори

Шаблон:Див. також Нехай $A$ і $B$ — скінченновимірні векторні простори над полем $K$, $\{e_i{\}}_{i=1\dots n}$ — базис в $A$, $\{f_k{\}}_{k=1\dots m}$ — базис в $B$. Тензорним добутком $A\otimes B$ просторів $A$ і $B$ будемо називати векторний простір, породжений елементами $e_i\otimes f_k$, що називаються тензорними добутками базисних векторів. Тензорний добуток $a\otimes b$ довільних векторів $a\in A,b\in B$ можна визначати, вважаючи операцію $\otimes$ білінійною:

$(\lambda a_1+\mu a_2)\otimes b=\lambda a_1\otimes b+\mu a_2\otimes b,\lambda ,\mu \in K$

$a\otimes (\lambda b_1+\mu b_2)=\lambda a\otimes b_1+\mu a\otimes b_2,\lambda ,\mu \in K$

При цьому тензорний добуток довільних векторів $a$ і $b$ виражається як лінійна комбінація базисних векторів $e_i\otimes f_k$. Елементи у $A\otimes B$, що представляються у вигляді $a\otimes b$, називаються розкладними.

Хоча тензорних добуток просторів визначається через набір базисів, його геометричні властивості не залежать від цього вибору.

Функторіальність

Тензорний добуток — це в деякому сенсі найзагальніший простір, в який можна білінійно відобразити вихідні простори. А саме, для будь-якого іншого простору $C$ і білінійного відображення ${\otimes }^{\prime }:A\times B\to C$ існує єдиний гомоморфізм $f:A\otimes B\to C$ такий, що

${\otimes }^{\prime }=f\circ \otimes$

Зокрема, звідси слідує, що тензорний добуток не залежить від вибору базисів в $A$ і $B$, оскільки всі простори, які при цьому отримуються $A\otimes B$ виявляються канонічно ізоморфні.

Таким чином, довільне білінійне відображення $L^2\ni \phi :A\times B\to C$ може бути визначене як лінійне відображення $L\ni \phi :A\otimes B\to C$, при чому достатньо задати його лише на добутку базисних векторів.

Простори $L^2(A\times B,C)$ і $L(A\otimes B,C)$ є канонічно ізоморфними.

Іншими словами, довільний функтор $\otimes :C\times C\to C$ називається тензорним добутком. Нехай $C$ - категорія із тензорним добутком $\otimes .$ Умовою асоціативності для $\otimes$ є ізоморфізм

$\vartheta :\otimes (\otimes \times Id)\to \otimes (Id\times \otimes ).$

Тому для будь-якої трійки $A,B,C$ об'єктів категорії $C$є ізоморфізм

${\vartheta }_{A,B,C}:(A\otimes B)\otimes C\to A\otimes (B\otimes C),$

такий, що діаграма

є комутативною для морфізмів $f,g,h$ категорії $C$.

Тензорні категорії аналогічні супералгебрам Гопфа.

Часткові випадки

Тензорний добуток двох векторів

(Матричний) добуток вектора-стовпчика справа на вектор-рядок дає їх тензорний добуток:

$𝐚\otimes {𝐛}^{\mathsf{\text{T}}}\to \left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\\ a_4\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2& b_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1{b}_1& a_1{b}_2& a_1{b}_3\\ a_2{b}_1& a_2{b}_2& a_2{b}_3\\ a_3{b}_1& a_3{b}_2& a_3{b}_3\\ a_4{b}_1& a_4{b}_2& a_4{b}_3\end{array}\right]$

або, якщо користуватись верхніми і нижніми індексами (по повторюваних індексах проводиться неявне сумування):

$𝐚\otimes 𝐛\to a_i{b}^j$.

Звідси слідує, що $\mathbf{\text{b}}\otimes \mathbf{\text{a}}=(\mathbf{\text{a}}\otimes \mathbf{\text{b}}{)}^{\mathrm{T}}$ та $\mathbf{\text{a}}(\mathbf{\text{b}}\otimes \mathbf{\text{c}})=(\mathbf{\text{ab}})\otimes \mathbf{\text{c}}.$

Якщо ж не прив'язуватись до матричної форми запису і матричних операцій, то, як і для тензорів більш високого рангу, прямий добуток буде являти тензор більш високого рангу (для добутку вектора-стовпця і вектора-рядка — другого, тобто з двома значками) з компонентами, які дорівнюють добутку компонент добутку множників з відповідними індексами:

$P_i^j=a_i{b}^j$

$P_{ij}=a_i{b}_j$

$P^{ij}=a^i{b}^j$

Оскільки тензорний добуток двох векторів є кронекерівським добутком і утворює вектор, його не слід плутати з зовнішнім добутком векторів (Шаблон:Lang-en) , що називається також діадним і результатом якого є матриця (тензор другого рангу).

Тензорним добутком простору векторів-стовпчиків на простір векторів-рядків є простір матриць.

Тензорний добуток операторів

Нехай $A:U_1\to U_2$, $B:W_1\to W_2$ — лінійні оператори. Тензорний добуток операторів $A\otimes B:U_1\otimes W_1\to U_2\otimes W_2$ визначається за правилом

$(A\otimes B)(u\otimes w)=(Au)\otimes (Bw),u\in U_1,w\in W_1$

Якщо матриці операторів при деякому виборі базисів мають вигляд

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$

$\mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & b_{1q}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{p1}& \cdots & b_{pq}\end{array}\right]$

то матриця їх тензорного добутку запишеться в базисі, утвореному тензорним добутком базисів, у вигляді блочної матриці

$\mathrm{A}\otimes \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}B& \cdots & a_{1n}B\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}B& \cdots & a_{mn}B\end{array}\right]=$

$=\left[\begin{array}{cccccccccc}{a}_{11}{b}_{11}& a_{11}{b}_{12}& \cdots & a_{11}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{11}& a_{1n}{b}_{12}& \cdots & a_{1n}{b}_{1q}\\ a_{11}{b}_{21}& a_{11}{b}_{22}& \cdots & a_{11}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{21}& a_{1n}{b}_{22}& \cdots & a_{1n}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{11}{b}_{p1}& a_{11}{b}_{p2}& \cdots & a_{11}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{p1}& a_{1n}{b}_{p2}& \cdots & a_{1n}{b}_{pq}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& \ddots & & ⋮& ⋮& & ⋮\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & \ddots & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}{b}_{11}& a_{m1}{b}_{12}& \cdots & a_{m1}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{11}& a_{mn}{b}_{12}& \cdots & a_{mn}{b}_{1q}\\ a_{m1}{b}_{21}& a_{m1}{b}_{22}& \cdots & a_{m1}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{21}& a_{mn}{b}_{22}& \cdots & a_{mn}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}{b}_{p1}& a_{m1}{b}_{p2}& \cdots & a_{m1}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{p1}& a_{mn}{b}_{p2}& \cdots & a_{mn}{b}_{pq}\end{array}\right]$

Відповідна операція над матрицями називається добутком Кронекера, на честь Леопольда Кронекера.

Властивості

• $\dim A\otimes B=\dim A\cdot \dim B$

Наступні алгебраїчні властивості засновані на канонічному ізоморфізмі:

• Асоціативність

$(A\otimes B)\otimes C\simeq A\otimes (B\otimes C)$

• Комутативність

$A\otimes B\simeq B\otimes A$

• Лінійність

$A\otimes (B\oplus C)\simeq (A\otimes B)\oplus (A\otimes C)$

$\oplus$ — зовнішня сума лінійних просторів.

Тензорний добуток модулів над кільцем

Нехай $A_1,A_2,\dots ,A_n$ — модулі над деяким комутативним кільцем $R$. Тензорним добутком цих модулів називається модуль $B$ над $R$, даний разом з полілінійним відображенням $f:A_1\times \dots \times A_n\to B,$ що володіє властивістю універсальності, тобто такий, що для будь-якого модуля $C$ над $R$ і будь-якого полілінійного відображення $g:A_1\times \dots \times A_n\to C$ існує єдиний гомоморфізм модулів $h:B\to C$ такий, що діаграма

є комутативною. Тензорний добуток позначається $A_1\otimes \dots \otimes A_n$. Із універсальності тензорного добутку виходить, що він є визначеним з точністю до ізоморфізму.

Для доведення існування тензорного добутку будь-яких двох модулів над комутативним кільцем побудуємо вільний модуль $M$, твірними якого будуть n-ки елементів модулів $(x_1,\dots ,x_n)$ де $x_i\in A_i$. Нехай $N$ — підмодуль $M$, що породжується такими елементами:

1. $(x_1,\dots ,x_i+y_i,\dots ,x_n)-(x_1,\dots ,x_i,\dots ,x_n)-(x_1,\dots ,y_i,\dots ,x_n)$
2. $(x_1,\dots ,\lambda x_i,\dots ,x_n)-\lambda (x_1,\dots ,x_i,\dots ,x_n)$

Тензорний добуток визначається як фактор-модуль $B=M/N$, клас $(x_1,\dots ,x_n)+N$ позначається $x_1\otimes \dots \otimes x_n$, і називається тензорним добутком елементів $x_i$, a $f$ визначається як відповідне індуковане відображення.

З 1) и 2) слідує що відображення $f:A_1\times \dots \times A_n\to B$ полілінійне. Доведемо, що для будь-якого модулю $C$ і будь-якого полілінійного відображення $g:A_1\times \dots \times A_n\to C$ існує єдиний гомоморфізм модулів $h$, такий, що $g=h\circ f$.

Насправді, оскільки $M$ вільний, то існує єдине відображення $h^{*}$, що робить діаграму

комутативною, а в силу того, що $g$ полілінійне, то на $N$ $h^{*}(N)=0$, звідси, переходячи до індукованого відображення, отримаємо, що $h:M/N\to C$, буде тим самим єдиним гомоморфізмом, існування якого і потрібно було довести.

Елементи $A_1\otimes \dots \otimes A_n$, що представляються у вигляді $x_1\otimes \dots \otimes x_n$, називаються розкладними.

Якщо $f_i:A_i\to B_i$ — ізоморфізми модулів, то індукований гомоморфізм, що відповідає білінійному відображенню

$f_1\otimes \dots \otimes f_n:A_1\otimes \dots \otimes A_n\to B_1\otimes \dots \otimes B_n$

що відповідає по властивості універсальності, називається тензорним добутком гомоморфізмів $f_i$.

Особливо простий випадок отримується у випадку вільних модулів. Нехай $e_{i1},\dots ,e_{in}$ — базис модуля $A_i$. Побудуємо вільний модуль $F$ над нашим кільцем, що має як базис елементи, які відповідають n-кам $(e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})$, визначивши відображення $f(e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})\to (e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})$ і поширюючи його на $A_1\times \dots \times A_n$ по лінійності. Тоді $F$ є тензорним добутком, де $(e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})$ є тензорним добутком елементів $e_{1m}\otimes e_{2p}\otimes \dots \otimes e_{ns}$. Якщо число модулів і число модулів і всі їх базиси скінченні, то

$rank(A_1\otimes \dots \otimes A_n)=rank{A}_1\cdot \dots \cdot rank{A}_n$.

Див. також

• Згортка тензора
• Тензор
• Тензорне поле
• Добуток Адамара

Джерела

• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра
• Шаблон:Винберг.Курс алгебры
• Шаблон:Ленг.Алгебра