Степеневий ряд

Шаблон:Числення У математиці степеневим рядом (однієї змінної) називається нескінченний ряд виду:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{(x-c)}^n=a_0+a_1(x-c{)}^1+a_2(x-c{)}^2+a_3(x-c{)}^3+\cdots$ де a_n — коефіцієнти n - го доданку, c — деяка константа, а x — змінна визначена в деякій області, що містить c. На практиці часто c рівне нулю і степеневі ряди мають простіший вид:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\dots .$

Степеневі ряди широко використовуються у дійсному і комплексному аналізі, як ряди Тейлора функцій, а також в комбінаториці, теорії ймовірностей та ін.

Операції зі степеневими рядами

Додавання і віднімання

Для степеневих рядів f і g навколо точки c, можна визначити їх суму і різницю. Якщо:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^n$

$g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-c{)}^n$

тоді

$f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_n\pm b_n)(x-c{)}^n.$

Множення і ділення

Для множення і ділення одержуються формули:

$f(x)g(x)=(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^n)(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-c{)}^n)$

$=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{b}_j(x-c{)}^{i+j}$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i}\right)(x-c{)}^n.$

Послідовність $m_n=\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i}$ називається конволюцією послідовностей $a_n$ і $b_n$.

Для ділення виконується:

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^n}{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-c{)}^n}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{d}_n(x-c{)}^n$

$f(x)=(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-c{)}^n)(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{d}_n(x-c{)}^n)$

і значення знаходяться з формул конволюції.

Збіжність степеневих рядів

Степеневий ряд називається збіжним в точці x₀, якщо збіжним є відповідний числовий ряд $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}_0^n=a_0+a_1{x}_0+a_2{x}_0^2+a_3{x}_0^3+\dots .$. Степеневий ряд є збіжним в деякій області, якщо він є збіжним в кожній точці цієї області.

Ознаки збіжності

Для степеневих рядів є декілька теорем, що описують умови і характер їх збіжності.

• Перша теорема Абеля: Нехай ряд $\mathrm{\Sigma }{a}_n{x}^n$ є збіжним в точці $x_0$. Тоді цей ряд є абсолютно збіжним в кругу $|x|<|x_0|$ рівномірно по $x$ на будь-якій компактній підмножині цього круга.

Навпаки, якщо степеневий ряд є розбіжним при $x=x_0$, він є розбіжним при всіх $x$, таких що $|x|>|x_0|$. З першої теореми Абеля також випливає, що існує такий радіус круга $R$ (можливо, нульовий або нескінченний), що при $|x|<R$ ряд є абсолютно збіжним (і збіжність є рівномірною по $x$ на компактних підмножинах круга $|x|<R$), а при $|x|>R$ ряд є розбіжним. Це значення $R$ називається радіусом збіжності ряду, а круг $|x|<R$ — кругом збіжності.

• Формула Коші — Адамара: Значення радіусу збіжності степеневого ряду може бути обчислено за формулою:

$\frac{1}{R}=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}|a_n{|}^{1/n}$

Нехай $F(x)$ і $G(x)$ — два степеневі ряди з радіусами збіжності $R_F$ і $R_G$. Тоді

$R_{F+G}\ge \min \{R_F,R_G\}$

$R_{F\cdot G}\ge \min \{R_F,R_G\}$

$R_{F^{\prime }}=R_F$

Якщо у ряду $G(x)$ вільний член нульовий, тоді

$R_{F\circ G}\ge \frac{R_F}{R_F+1}{R}_G$

Питання про збіжність ряду в точках межі $|x|=R$ круга збіжності потребує додаткового аналізу:

Ознака Д’Аламбера: Якщо при $n>N$ і $\alpha >1$ виконано нерівність

$\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\ge R(1+\frac{\alpha }{n})$

тоді степеневий ряд $\mathrm{\Sigma }{a}_n{x}^n$ є абсолютно збіжним в усіх точках кола $|x|=R$ і збіжність є рівномірною по $x$.

• Ознака Діріхле: Якщо всі коефіцієнти степеневого ряду $\mathrm{\Sigma }{a}_n{x}^n$ додатні і послідовність $a_n$ монотонно збігається до нуля, тоді цей ряд є збіжним в усіх точках кола $|x|=1$, окрім, можливо, точки $x=1$.
• Друга теорема Абеля:Нехай степеневий ряд є збіжним в точці $x=x_0$. Тоді він є рівномірно збіжним по $x$ на відрізку, що сполучає точки 0 і $x_0$.

Похідна і інтеграл

Якщо деяка функція рівна сумі степеневого ряду в деякій області то її похідну і інтеграл можна визначити почленно продиференціювавши і проінтегрувавши доданки степеневого ряду:

$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}n{(x-c)}^{n-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n+1}(n+1){(x-c)}^n$

$\int f(x)dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n{(x-c)}^{n+1}}{n+1}+k=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_{n-1}{(x-c)}^n}{n}+k.$

Радіуси збіжності обох цих рядів дорівнюють радіусу початкового ряду.

Степеневі ряди багатьох змінних

Степеневий ряд від n змінних — ряд виду:

$F(X_1,X_2,\dots ,X_n)=\sum _{k_1,k_2,\dots ,k_n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_{k_1,k_2,\dots ,k_n}{X}_1^{k_1}{X}_2^{k_2}\dots X_n^{k_n}$

або, в мультиіндексних позначеннях

$F(X)=\sum _{\alpha }{a}_{\alpha }{X}^{\alpha },$

де $X$ — це вектор $X=(X_1,X_2,\dots ,X_n)$, $\alpha$ — мультиіндекс $\alpha =(k_1,k_2,\dots k_n)$, $X^{\alpha }$ — одночлен $X^{\alpha }=X_1^{k_1}{X}_2^{k_2}\dots X_n^{k_n}$.

Див. також

• Ряд (математика)
• Формальний степеневий ряд
• Ряд Тейлора
• Теорема Абеля
• Ряд Пюїзо

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969.
• Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372
• Шаблон:Клепко ВМ