Спорадична група

Шаблон:Теорія груп Спорадична група — одна з 26 виняткових груп у теоремі про класифікацію простих скінченних груп.

Проста група — це група G, що не містить будь-яких нормальних підгруп, відмінних від самої групи G і тривіальної (одиничної) підгрупи. Теорема класифікації стверджує, що Шаблон:Не перекладено складається з 18 зліченних нескінченних сімейств, плюс 26 винятків, які не потрапляють до цієї класифікації. Ці винятки називають спорадичними групами. Вони також відомі під назвами «спорадичні прості групи» або «спорадичні скінченні групи». Оскільки Шаблон:Нп не є строго групою лієвого типу, іноді її також вважають спорадичною і в цьому випадку вона є 27-ою спорадичною групою.

Група Монстр — найбільша серед спорадичних груп і містить як підгрупи або Шаблон:Не перекладено всі, за винятком шести, інші спорадичні групи.

Назви спорадичних груп

П'ять спорадичних груп виявив у 1860-х роках Матьє, решту 21 знайдено між 1965 і 1975 роками. Існування кількох із цих груп передбачено до їх побудови. Пізніше доведено, що цим остаточно завершено повний пошук. Більшість груп носять імена математиків, які першими передбачили їх існування.

Повний список груп:

Діаграма показує підфакторні зв'язки спорадичних груп.

• групи Матьє Шаблон:Не перекладено, Шаблон:Не перекладено, Шаблон:Не перекладено, Шаблон:Не перекладено, Шаблон:Не перекладено
• Шаблон:Нп Шаблон:Не перекладено, Шаблон:Не перекладено, Шаблон:Не перекладено, Шаблон:Не перекладено
• Групи Конвея Шаблон:Нп, Шаблон:Не перекладено, Шаблон:Не перекладено
• Шаблон:Нп Шаблон:Не перекладено, Шаблон:Не перекладено, Шаблон:Не перекладено
• Шаблон:Не перекладено HS
• Шаблон:Не перекладено McL
• Шаблон:Не перекладено He або F₇₊, або F₇
• Шаблон:Нп Ru
• Шаблон:Не перекладено Suz або F₃₋
• Шаблон:Не перекладено O'N
• Шаблон:Не перекладено HN або F₅₊, або F₅
• Шаблон:Не перекладено Ly
• Шаблон:Не перекладено Th або F_3|3, або F₃
• Шаблон:Не перекладено B або F₂₊, або F₂
• Группа «Монстр» Фішера-Грейса M або F₁

Групу Тітса T іноді також вважають спорадичною групою (вона майже лієвого типу) і з цієї причини в деяких джерелах число спорадичних груп дається як 27, а не 26. За іншими джерелами групу Тітса не вважається ні спорадичною, ні групою Лієва типу.

Для всіх спорадичних груп побудовано матричні представлення над скінченними полями.

Найраніше вживання терміна «спорадична група» знайдено в БернсайдаШаблон:Sfn, де він говорить про групи Матьє: «Ці, мабуть, прості спорадичні групи вимагають ретельнішого дослідження, ніж мали досі».

Діаграма праворуч ґрунтується на діаграмі РонанаШаблон:Sfn. Спорадичні групи також мають багато підгруп, які не є спорадичними, але на діаграмі вони відсутні через їх величезну кількість.

Система

З 26 спорадичних груп 20 містяться всередині групи «Монстр» як підгрупи або Шаблон:Не перекладено .

I. Парії

Шість винятків J_1, J₃, J_4, O'N, Ru і Ly іноді називають Шаблон:Не перекладено.

ІІ. Щаслива родина

Решта двадцять груп називають Щасливою родиною (назву дав Шаблон:Не перекладено) і їх можна розбити на три покоління.

Перше покоління (5 груп) — групи Матьє

Шаблон:Докладніше Групи M_n для n = 11, 12, 22, 23 та 24 є кратно-транзитивними групами перестановок n точок. Усі вони є підгрупами групи M₂₄ яка є групою перестановок 24 точок.

Друге покоління (7 груп) — ґратка Ліча

Всі Шаблон:Не перекладено групи автоморфізмів ґратки в 24-вимірному просторі, яку називають ґраткою Ліча:

• Co₁ — фактор-група групи автоморфізмів за центром {±1}
• Co₂ — стабілізатор вектора типу 2 (тобто довжини 2)
• Co₃ — стабілізатор вектора типу 3 (тобто довжини √6)
• Suz — група автоморфізмів, що зберігають структуру (модуль центра)
• McL — стабілізатор трикутника типу 2-2-3
• HS — стабілізатор трикутника типу 2-3-3
• J₂ — група автоморфізмів, що зберігають кватерніонну структуру (модуль за центром).

Третє покоління (8 груп) — інші підгрупи Монстра

Складається з підгруп, тісно пов'язаних із Монстром M:

• B або F₂ має подвійне покриття, що є централізатором елемента порядку 2 в M
• Fi₂₄′ має потрійне покриття, що є централізатором елемента порядку 3 в M (клас спряженості «3A»)
• Fi₂₃ є підгрупою Fi₂₄′
• Fi₂₂ має подвійне покриття, яке є підгрупою Fi₂₃
• Добуток Th = F₃ та групи порядку 3 є централізатором елемента порядку 3 в M (клас спряженості «3C»)
• Добуток HN = F₅ та групи порядку 5 є централізатором елемента порядку 5 в M
• Добуток He = F₇ і групи порядку 7 є централізатором елемента порядку 7 у M
• Зрештою, вважають, що сам Монстр також належить до цього покоління.

(Ця серія продовжується і далі — добуток M₁₂ та групи порядку 11 є централізатором елемента порядку 11 у M.)

Шаблон:Нп також належить до цього покоління — існує підгрупа $S_4\times {}^2{F}_4(2{)}^{\prime }$, що нормалізує 2C² підгрупу B, що породжує підгрупу $2\cdot S_4\times {}^2{F}_4(2{)}^{\prime }$, яка нормалізує деяку підгрупу Q₈ Монстра. ${}^2{F}_4(2{)}^{\prime }$ є також підгрупою груп Фішера Fi₂₂, Fi₂₃ і Fi₂₄′ та «малого Монстра» B. ${}^2{F}_4(2{)}^{\prime }$ є підгрупою групи-парії Рудваліса Ru і не має інших залежностей із простими спорадичними групами, крім перерахованих вище.

Таблиця порядків спорадичних груп

Група	Покоління	Порядок (Шаблон:OEIS)	Значущих цифр	Розклад	Трійка стандартных генераторів (a, b, ab)	Інші умови
F1 або M	третє	8080174247945128758864599049617107 57005754368000000000	≈ 8Шаблон:E	246 • 320 • 59 • 76 • 112 • 133 • 17 • 19 • 23 • 29 • 31 • 41 • 47 • 59 • 71	2A, 3B, 29
Шаблон:Не перекладено	третє	4154781481226426191177580544000000	≈ 4Шаблон:E	$2^{41}\cdot 3^{13}\cdot 5^6\cdot 7^2\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 31\cdot 47$	2C, 3A, 55	$o((ab{)}^2(aba{b}^2{)}^{2}a{b}^2)=23$
Шаблон:Не перекладено	третє	1255205709190661721292800	≈ 1Шаблон:E	221 • 316 • 52 • 73 • 11 • 13 • 17 • 23 • 29	2A, 3E, 29	$o((ab{)}^{3}b)=33$
Шаблон:Не перекладено	третє	4089470473293004800	≈ 4Шаблон:E	218 • 313 • 52 • 7 • 11 • 13 • 17 • 23	2B, 3D, 28
Шаблон:Не перекладено	третє	64561751654400	≈ 6Шаблон:E	217 • 39 • 52 • 7 • 11 • 13	2A, 13, 11	$o((ab{)}^2(aba{b}^2{)}^{2}a{b}^2)=12$
Шаблон:Не перекладено	третє	90745943887872000	≈ 9Шаблон:E	215 • 310 • 53 • 72 • 13 • 19 • 31	2, 3A, 19
Шаблон:Не перекладено	парія	51765179004000000	≈ 5Шаблон:E	28 • 37 • 56 • 7 • 11 • 31 • 37 • 67	2, 5A, 14	$o(ababa{b}^2)=67$
Шаблон:Не перекладено	третє	273030912000000	≈ 3Шаблон:E	214 • 36 • 56 • 7 • 11 • 19	2A, 3B, 22	$o([a,b])=5$
Co1	друге	4157776806543360000	≈ 4Шаблон:E	221 • 39 • 54 • 72 • 11 • 13 • 23	2B, 3C, 40
Шаблон:Не перекладено	друге	42305421312000	≈ 4Шаблон:E	218 • 36 • 53 • 7 • 11 • 23	2A, 5A, 28
Шаблон:Не перекладено	друге	495766656000	≈ 5Шаблон:E	210 • 37 • 53 • 7 • 11 • 23	2A, 7C, 17
Шаблон:Не перекладено	парія	460815505920	≈ 5Шаблон:E	29 • 34 • 5 • 73 • 11 • 19 • 31	2A, 4A, 11
Шаблон:Не перекладено	друге	448345497600	≈ 4Шаблон:E	213 • 37 • 52 • 7 • 11 • 13	2B, 3B, 13	$o([a,b])=15$
Ru	парія	145926144000	≈ 1Шаблон:E	214 • 33 • 53 • 7 • 13 • 29	2B, 4A, 13
Шаблон:Не перекладено	третє	4030387200	≈ 4Шаблон:E	210 • 33 • 52 • 73 • 17	2A, 7C, 17
Шаблон:Не перекладено	друге	898128000	≈ 9Шаблон:E	27 • 36 • 53 • 7 • 11	2A, 5A, 11	$o((ab{)}^2(aba{b}^2{)}^{2}a{b}^2)=7$
Шаблон:Не перекладено	друге	44352000	≈ 4Шаблон:E	29 • 32 • 53 • 7 • 11	2A, 5A, 11
Шаблон:Не перекладено	парія	86775571046077562880	≈ 9Шаблон:E	221 • 33 • 5 • 7 • 113 • 23 • 29 • 31 • 37 • 43	2A, 4A, 37	$o(aba{b}^2)=10$
Шаблон:Не перекладено	парія	50232960	≈ 5Шаблон:E	27 • 35 • 5 • 17 • 19	2A, 3A, 19	$o([a,b])=9$
J2 или HJ	друге	604800	≈ 6Шаблон:E	27 • 33 • 52 • 7	2B, 3B, 7	$o([a,b])=12$
Шаблон:Не перекладено	парія	175560	≈ 2Шаблон:E	23 • 3 • 5 • 7 • 11 • 19	2, 3, 7	$o(aba{b}^2)=19$
Шаблон:Не перекладено	перше	244823040	≈ 2Шаблон:E	210 • 33 • 5 • 7 • 11 • 23	2B, 3A, 23	$o(ab(aba{b}^2{)}^{2}a{b}^2)=4$
Шаблон:Не перекладено	перше	10200960	≈ 1Шаблон:E	27 • 32 • 5 • 7 • 11 • 23	2, 4, 23	$o((ab{)}^2(aba{b}^2{)}^{2}a{b}^2)=8$
Шаблон:Не перекладено	перше	443520	≈ 4Шаблон:E	27 • 32 • 5 • 7 • 11	2A, 4A, 11	$o(aba{b}^2)=11$
Шаблон:Не перекладено	перше	95040	≈ 1Шаблон:E	26 • 33 • 5 • 11	2B, 3B, 11
Шаблон:Не перекладено	перше	7920	≈ 8Шаблон:E	24 • 32 • 5 • 11	2, 4, 11	$o((ab{)}^2(aba{b}^2{)}^{2}a{b}^2)=4$

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга Випуски 1, 2, …
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Atlas of Finite Group Representations: Sporadic groups