Скрут кривої

Шаблон:Dablink У диференціальній геометрії, скрут кривої (Шаблон:Lang-en) — це кількісна міра відхилення кривої від стичної площини. Таким чином, скрут вказує наскільки крива відрізняється від форми плоскої кривої.

Для плоскої кривої скрут дорівнює нулю. Коли скрут кривої є мірою відхилення від площини, то кривина кривої є мірою відхилення від прямої.

Визначення

Нехай $P$ — довільна точка регулярної кривої $\gamma$, $Q$ — точка кривої, що близька до $P$. Позначимо через $\mathrm{\Delta }\alpha$ кут між стичними площинами кривої в точках $P$ та $Q$, а через $\mathrm{\Delta }s$ — довжину дуги $PQ$ кривої. Тоді $\underset{Q\to P}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }\alpha }{\mathrm{\Delta }s}$, якщо він існує, називається абсолютним скрутом кривої $\gamma$ в точці $P$ і позначається через $|k_2|$Шаблон:Sfn.

Геометричний зміст абсолютного скруту й знака скруту

Абсолютний скрут кривої в точці $P$ дорівнює кутовій швидкості обертання бінормалі кривої навколо точки $Q$, тобто $|k_2|=\underset{\mathrm{\Delta }s\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }\alpha }{\mathrm{\Delta }s},$ де $\mathrm{\Delta }\alpha$ — кут повороту бінормалі, що відповідає приросту довжини дуги $\mathrm{\Delta }s$. Скрут буде додатнім (від'ємним), якщо при спостереженні з кінця вектора швидкості вектор бінормалі при русі точки по кривій обертається проти (по) годинникової стрілки.

Теорема

Нехай $\gamma$ — регулярна крива класу $C^3$. Тоді в кожній точці кривої, в якій кривина $k_1\ne 0$, визначений абсолютний скрут $|k_2|$. Якщо $\overline{r}=\overline{r}(s)$ — натуральна параметризація кривої, то

$|k_2|=|\overline{\beta }{\text{'}}_s|=\frac{|(\overline{r}{\text{'}}_s,{\overline{r}}^{\prime }{\text{'}}_s,{\overline{r}}^{″}{\text{'}}_s)|}{k_1^2}$, 

де $\overline{\beta }(s)$ — вектор-функція одиничних бінормалей кривої $\gamma$.

Доведення. Розглянемо властивості вектора $\overline{\beta }$:

1. ${\overline{\beta }}^{\prime }\mathrm{\perp }\overline{\beta }$, бо $\overline{\beta }$ — одиничний вектор, отже ${\overline{\beta }}^2=const$, $2\overline{\beta }{\overline{\beta }}^{\prime }=0$;
2. ${\overline{\beta }}^{\prime }\mathrm{\perp }\overline{\tau }$ (оскільки $\overline{\beta }=[\overline{\tau },\overline{\nu }]$, з першої формули Френе: $\frac{d\overline{\tau }}{ds}=k_1\overline{\nu }$ і $\frac{d\overline{\beta }}{ds}=[\frac{d\overline{\tau }}{ds},\overline{\nu }]+[\overline{\tau },\frac{d\overline{\nu }}{ds}]=[\overline{\tau },{\overline{\nu }}^{\prime }]$); Тут $\overline{\tau },\overline{\nu }$ познадають відповідно одиничні дотичний і нормальний вектори, $k_1$— кривину кривої у відповідній точці.
3. $\frac{d\overline{\beta }}{ds}=-k_2\overline{\nu }$ (третя формула Френе).

Таким чином, $|k_2|=\frac{|d\overline{\beta }|}{|ds|}$.

Знайдемо тепер $\frac{|d\overline{\beta }|}{|ds|}$, ${\overline{\beta }}^{\prime }=-k_2\overline{\nu }$, ${\overline{\beta }}^{\prime }\cdot \overline{\nu }=-k_2{\overline{\nu }}^2$ або $k_2={\overline{\beta }}^{\prime }\cdot {\nu }^2$.

Враховуючи властивість 2 та першу формулу Френе і розглядаючи кривину $k$ як функцію $s$, маємо:

$k_2=[\overline{\tau },{\overline{\nu }}^{\prime }]\cdot \overline{\nu }=-[{\overline{r}}^{\prime },(\frac{1}{k_1}{\overline{r}}^{″}{)}^{\prime }]\cdot \frac{1}{k_1}{\overline{r}}^{″}=-\frac{1}{k_1^3}[{\overline{r}}^{\prime },{\overline{r}}^{‴}{k}_1-{\overline{r}}^{″}{k_1}^{\prime }]{\overline{r}}^{″}=\frac{1}{k_1^3}([{\overline{r}}^{\prime },{\overline{r}}^{″}]{k_1}^{\prime }{\overline{r}}^{″}-[{\overline{r}}^{\prime },{\overline{r}}^{‴}]{\overline{r}}^{″}{k}_1)=\frac{({\overline{r}}^{\prime },{\overline{r}}^{″},{\overline{r}}^{‴})}{k_1^2}$.

Отже, $|k_2|=\frac{|(\overline{r}{\text{'}}_s,{\overline{r}}^{\prime }{\text{'}}_s,{\overline{r}}^{″}{\text{'}}_s)|}{k_1^2}$

Скрут кривої в довільній параметризації

Нехай $\overline{r}=\overline{r}(t)$ — регулярна параметризація кривої $\gamma$, $\overline{r}\in {ℂ}^3$. Тоді, $|k_2|=\frac{|(\overline{r}{\text{'}}_t,{\overline{r}}^{\prime }{\text{'}}_t,{\overline{r}}^{″}{\text{'}}_t)|}{[\overline{r}{\text{'}}_t,{\overline{r}}^{\prime }{\text{'}}_t{]}^2}$ — абсолютний скрут в довільній параметризації. Для $F(x,y,z)=0$ скрут кривої обчислюється за формулою:

$|k_2|=\frac{x^{‴}(y^{\prime }{z}^{″}-y^{″}{z}^{\prime })+y^{‴}(x^{″}{z}^{\prime }-x^{\prime }{z}^{″})+z^{‴}(x^{\prime }{y}^{″}-x^{″}{y}^{\prime })}{(y^{\prime }{z}^{″}-y^{″}{z}^{\prime }{)}^2+(x^{″}{z}^{\prime }-x^{\prime }{z}^{″}{)}^2+(x^{\prime }{y}^{″}-x^{″}{y}^{\prime }{)}^2}$.

Зауваження

Якщо скрут кривої дорівнює нулю $|k_2|=0$, то крива плоска.

Приклад

Обчислимо скрут гвинтової лінії: $\{\begin{array}{c}x(t)=a\cdot \cos t,\\ y(t)=a\cdot \sin t,\\ z(t)=b\cdot t,\end{array}$. Оскільки

$\overline{r}{\text{'}}_t=(-a\cdot \sin t,a\cdot \cos t,b);$

${\overline{r}}^{\prime }{\text{'}}_t=(-a\cdot \cos t,-a\cdot \sin t,0);$

${\overline{r}}^{″}{\text{'}}_t=(a\cdot \sin t,-a\cdot \cos t,0),$

то

$<{\overline{r}}^{\prime },{\overline{r}}^{\prime }>=a^2+b^2,$

$<{\overline{r}}^{″},{\overline{r}}^{″}>=a^2,$

$<{\overline{r}}^{\prime },{\overline{r}}^{″}>=0;$

$[{\overline{r}}^{\prime },{\overline{r}}^{″}{]}^2=\overline{r}{\text{'}}^2{\overline{r}}^{\prime }{\text{'}}^2-<{\overline{r}}^{\prime },{\overline{r}}^{″}{>}^2=(a^2+b^2)a^2;$

$({\overline{r}}^{\prime },{\overline{r}}^{″},{\overline{r}}^{‴})=b{a}^2.$

Тоді

$k_2=-\frac{b}{a^2+b^2}.$

Література

• Шаблон:Борисенко.Диференціальна геометрія і топологія
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр