Симплектична матриця

Симплектична матриця — в лінійній алгебрі квадратна матриця, порядок якої є парним числом, що є матрицею лінійного перетворення на симплектичному просторі, що зберігає симплектичну форму. Відповідне лінійне перетворення теж називається симплектичним.

Симплектичні перетворення і матриці є важливими в симплектичній геометрії, а також теорії груп Лі. Група всіх симплектичних матриць заданого порядку утворюють групу Лі, що називається симплектичною групою.

Означення

Нехай $S$ — симплектичний векторний простір і $\omega$ — його симплектична форма, тобто невироджена кососиметрична білінійна форма. Лінійне перетворення $A$ називається симплектичним, якщо $\omega (AX,AY)=\omega (X,Y),\mathrm{\forall }X,Y\in S.$ Матриця $M$ називається симплектичною, якщо вона є матрицею деякого симплектичного перетворення.

На просторі $S$ завжди можна вибрати базис, в якому $\omega (X,Y)=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_{n+i}-x_{n+i}{y}_i,$ де $x_i,i=1,\dots ,2n$ і $y_j,j=1,\dots ,2n$ — координати веторів $X$ і $Y$ у цьому базисі. Якщо ввести на $S$ скалярний добуток $(X,Y)=\sum _{i=1}^{2n}{x}_i{y}_i$ при тих же позначеннях, то отримується рівність:

$\omega (X,Y)=(X,\mathrm{\Omega }Y),$ де $\mathrm{\Omega }$ — блочна матриця виду

$\mathrm{\Omega }=\left[\begin{array}{cc}0& I_n\\ -I_n& 0\end{array}\right]$

Визначник матриці $\mathrm{\Omega }$ рівний 1 і для неї справедливими є рівності ${\mathrm{\Omega }}^{-1}={\mathrm{\Omega }}^T=-\mathrm{\Omega }.$

З цих властивостей можна отримати еквівалентне означення симплектичної матриці: матриця називається симплектичною, якщо для неї виконується рівність:

$M^{\text{T}}\mathrm{\Omega }M=\mathrm{\Omega }.$

Для комплексних матриць зустрічаються різні означення симплектичних матриць, зокрема означення може бути таким, як і в попередній формулі в дійсному випадку або замість транспонування може використовуватися ермітове спряження $M^{*}.$

Властивості

• З формули $M^{\text{T}}\mathrm{\Omega }M=\mathrm{\Omega }$ і властивостей визначника відразу отримується результат, що $\det M=\pm 1.$ Насправді для всіх симплектичних матриць $\det M=1.$
• Якщо M матриця розмірності 2n×2n то її можна записати у виді

$M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$

де A, B, C, D є матрицями розмірності n×n. Умова симплектичності M є еквівалентною умовам

$A^{\text{T}}D-C^{\text{T}}B=I$

$A^{\text{T}}C=C^{\text{T}}A$

$D^{\text{T}}B=B^{\text{T}}D.$

• З попереднього випливає, що квадратна матриця порядку 2 є симплектичною тоді і тільки тоді коли її визначник рівний 1.
• В попередніх позначеннях обернена матриця рівна

$M^{-1}={\mathrm{\Omega }}^{-1}{M}^{\text{T}}\mathrm{\Omega }=\left(\begin{array}{cc}{D}^{\text{T}}& -B^{\text{T}}\\ -C^{\text{T}}& A^{\text{T}}\end{array}\right).$

• $-{\delta }_{ij}=\sum _{k=1}^n{m}_{k,i+n}{m}_{n+k,j}-m_{n+k,i+n}{m}_{n,j}-m_{k,i}{m}_{n+k,j}+m_{k,i}{m}_{k,j}$
• При заміні базису, що задається матрицею $A$, відбувається перетворення матриці

$\mathrm{\Omega }\mapsto A^{\text{T}}\mathrm{\Omega }A$

і нові симплектичні матриці пов'язані зі старими через перетворення.

$M\mapsto A^{-1}MA.$

• Для додатноозначеної дійсної симплектичної матриці Шаблон:Math існує матриця Шаблон:Math у множині Шаблон:Math, для якої

$M=U^{\text{T}}DU\text{for}D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n,{\lambda }_1^{-1},\dots ,{\lambda }_n^{-1}),$
де діагональні елементи матриці Шаблон:Math є власними значеннями матриці Шаблон:Math.

• Для довільної дійсної симплектичної матриці Шаблон:Math полярний розклад рівний :

$M=UR\text{for}U\in \mathrm{U}(2n,ℝ)\text{ and }R\in \mathrm{Sp}(2n,ℝ)\cap {\mathrm{Sym}}_{+}(2n,ℝ).$

• Довільна дійсна симплектична матриця є добутком трьох матриць:

$M=O\left(\begin{array}{cc}D& 0\\ 0& D^{-1}\end{array}\right)O^{\prime },$
such де Шаблон:Math і Шаблон:Math є одночасно симплектичними і ортогональними і Шаблон:Math є додатноозначеною і діагональною..

Див. також

• Симплектичний простір

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Planetmath reference
• Шаблон:Planetmath reference