Ряд (математика)

Шаблон:Числення Ряд — в математиці, це операція додавання нескінченної кількості величин, послідовно одна за одною, починаючи із заданої величини.

Для кожного ряду зазвичай розглядають послідовності часткових сум (ряду) та елементів (ряду).

Розглядаються числові ряди двох видів:

• Дробові числові ряди — вивчаються в математичному аналізі;
• Комплексні числові ряди — вивчаються в комплексному аналізі;

Важливіше питання дослідження числових рядів — це збіжність числових рядів. Числові ряди застосовуються як система наближень до чисел. Узагальненням поняття ряду є поняття Шаблон:Не перекладено.

Тривалий час, думка про те, що така потенційно нескінченна сума може мати скінченний результат, математиками і філософами розглядалася як парадокс. Цей парадокс було вирішено з виникненням поняття границі під час 19-го століття. Парадокс Зенона про Ахілла та черепаху ілюструє цю контрінтуїтивну властивість скінченних рядів: Ахілл біжить услід за черепахою, але коли він наздоганяє черепаху на початку гонки, вона вже досягає другої позиції; коли він досягає другої позиції черепахи, вона буде вже на третій позиції, і так далі. Зенон розрахував, що Ахілл ніколи не зможе досягнути черепаху, і що таким робом такого моменту не існує. Зенон розділив цю гонку на нескінченно велику кількість частин гонки, кожна з яких займає скінченну частину часу, так, що загальний час, за який Ахілл добіжить до черепахи, заданий рядом. Вирішенням цього парадоксу є те, що, хоча ряд має нескінченно велику кількість елементів, він має скінченну суму, яка і є тим часом, за який Ахілл наздожене та впіймає черепаху.

У сучасній термінології, будь-яка (впорядкована) нескінченна послідовність $(a_1,a_2,a_3,\dots )$ з термів (що можуть бути числами, функціями, або будь-чого, що може додаватися) визначає ряд, який є операцією додавання $a_i$ між собою. Аби підкреслити те, що існує нескінченна кількість термів, ряд може називатися нескінченним рядом. Такий ряд записується у вигляді такого математичного виразу:

$a_1+a_2+\cdots +a_n+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$.

Загалом поняття ряду виникло з поняття кільця, що часто є полем $ℝ$ дійсних чисел або полем $ℂ$ комплексних чисел. У такому разі множина всіх рядів сама собою є кільцем (або навіть асоціативною алгеброю), у якій операція додавання визначає додавання рядів поелементно, терм за термом, а множення є операцією добутку Коші.

Визначення

Нехай  $\{a_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ — послідовність; розглянемо також послідовність

$\{s_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }},$ кожен елемент якої є n-тою частковою сумою членів початкової послідовності

$s_n=a_1+a_2+\cdots +a_n=\sum _{i=1}^n{a}_i.$

Рядом називається сукупність цих двох послідовностей. Позначається:

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i.$

Тоді, за визначенням:

• Числовий ряд збігається, якщо збігається послідовність його часткових сум;
• Числовий ряд розбігається, якщо розбігається послідовність його часткових сум;
• Числовий ряд збігається абсолютно, якщо збігається ряд з модулів його членів.

Якщо числовий ряд збігається, то границя $S$ послідовності його часткових сум має назву суми ряду:

$S=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i,$

Ознаки збіжності

Необхідні умови збіжності

Теорема 01

Якщо числовий ряд

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

збігається, то кінцевий член ряду

$a_n\to 0$, $n\to \mathrm{\infty }$

Доведення. $⊳$ Дійсно, оскільки $a_n=S_n-S_{n-1}$, $n⩾2$ та $S_n\to S\in ℝ$, $n\to \mathrm{\infty }$, то $a_n\to S-S=0$, $n\to \mathrm{\infty }$. $⊲$

Теорема 02

Якщо числовий ряд

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

збігається, то залишок ряду

$a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{2n}\to 0$, $n\to \mathrm{\infty }$

Доведення. $⊳$ Розглянемо $a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{2n}=S_{2n}-S_n\to S-S=0$, $n\to \mathrm{\infty }$. $⊲$

Теореми 01 та 02 дають необхідні умови збіжності ряду (1).

Критерій Коші

Для того щоб ряд (1) збігався, необхідно і достатньо, щоб

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n⩾N\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N}:|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\epsilon$.

$⊳$ Цей критерій являє собою критерій Коші для числовой послідовності $\{S_n:n⩾1\}$. $⊲$

Критерій абсолютної збіжності

Ряд з дійсних чисел збігається абсолютно тоді й тільки тоді, коли збігаються обидва ряди: ряд з додатних його членів і ряд з від'ємних членів.

Операції над рядами

Нехай задано два збіжні ряди $a=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ та $b=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$. Тоді:

• Їхньою сумою називається ряд $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_n+b_n)$ і його сама рівна $a+b$.
• Їхнім добутком за Коші називається ряд $\sum c_n$, де $c_n=\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}$

Якщо обидва ряди збігаються абсолютно, то добуток рядів збігається.

Приклади числових рядів

Приклад 01. Ряди

$1+1+1+\cdots +1+\cdots$

$1-1+1-\cdots +(-1{)}^{n+1}+\cdots$

є розбіжними згідно з теоремою 01. Дійсно, $a_n=1\nrightarrow 0$, $n\to \mathrm{\infty }$ у випадку ряду (1) та $a_n=(-1{)}^{n+1}\nrightarrow 0$ у випадку ряду (2).

Приклад 02. Доведемо, що

$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}+\cdots =1$

$⊳$ Дійсно, для $n⩾1$

$S_n=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots +(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{n+1}$.

Отже, $S_n\to 1$, $n\to \mathrm{\infty }$. $⊲$

• Геометричний ряд — це такий ряд, ц якому кожен наступний елемент утворений множенням попереднього на стале число (що зветься сталим відношенням ряду). Наприклад:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}.$

Загалом геометричний ряд

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n=\frac{1}{1-z}$

збігається тоді й тільки тоді, коли $|z|<1$.

• Арифметично-геометричний ряд — це узагальнення геометричного ряду, коефіцієнти сталого відношення якого дорівнюють елементам в арифметичній прогресії. Наприклад:

$3+\frac{5}{2}+\frac{7}{4}+\frac{9}{8}+\frac{11}{16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(3+2n)}{2^n}.$

• Гармонічний ряд — це ряд виду

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}.$

Гармонічні ряди є розбіжними, оскільки за теоремою 02 $S_{2n}-S_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}⩾n\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$.

• Знакозмінний ряд — це ряд, у якому елементи можуть змінювати свій знак. У таких рядах доданки є як додатні, так і від'ємні. Наприклад:

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}=\ln (2)$ (знакозмінний гармонічний ряд)

і

$-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^n}{2n-1}=-\frac{\pi }{4}$

• Узагальнений гармонічний ряд або p-ряд:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}$

збігається, коли p > 1, і є розбіжним, коли p ≤ 1. Функція відносно p, що є сумою цього ряду є дзета-функцією Рімана.

• Телескопічний ряд:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(b_n-b_{n+1})$

збігається, якщо послідовність b_n збігається до границі L, притому як n прямує до нескінченності. Значення ряду тоді дорівнюватиме b₁ − L.

π

Апроксимація числа π за допомогою ряду

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}(4)}{2n-1}=\frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}+\frac{4}{13}-\cdots =\pi$

Натуральний логарифм 2

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=\ln 2$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}=\ln 2$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(n+1)(n+2)}=2\ln (2)-1$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(4n^2-1)}=2\ln (2)-1$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n}=\ln 2$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n})\frac{1}{n}=\ln 2$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n(2n-1)}=\ln 2$

Натуральний логарифм за основою e

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots =\frac{1}{e}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots =e$

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Березанський.Ус.Шефтель
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Клепко ВМ
• Шаблон:Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.