Розкладання на прості дроби

Метод невизначених коефіцієнтів (Розкладання на прості дроби) (Шаблон:Lang-en) алгебраїчного дробу (такого дробу, що чисельник і знаменник обидва многочлени) — це операція, яка складається з вираження дробу як суми многочлена (можливо нуля) і одного або кількох дробів з простішими знаменниками.

Розкладання на прості дроби є досить важливим наприклад у інтегральному численні, оскільки цей алгоритм дає можливість обчислити первісну раціональної функції набагато простіше.

Розкладання на прості дроби можна використати, щоб привести раціональний дріб форми

$\frac{f(x)}{g(x)}$

де ƒ і g є многочленами, до виразу форми

$\sum _j\frac{f_j(x)}{g_j(x)}$

де g_j (x) це многочлени які є дільниками g(x), і зазвичай меншого степеню. Отже, розклад на прості дроби можна розглядати як процедуру обернену до простішої операції додавання алгебраїчних дробів, результатом якої є єдиний алгебраїчний дріб з чисельником і знаменником зазвичай вищого степеню. Повний розклад проводить перетворення так далеко як тільки можливо: інакше кажучи, g факторизується на стільки, на скільки це можливо. Отже, на виході повного розкладу на прості дроби ми маємо суму дробів, де:

• знаменник кожного виразу степінь незвідного многочлена і
• чисельник — многочлен меншого степеня ніж цей незвідний многочлен. Для зменшення степеня чисельника напряму, можна використати евклідове ділення многочленів, але якщо ƒ меншого степеня ніж g це не допоможе.

Приклади

Приклад 1

$f(x)=\frac{1}{x^2+2x-3}$

Тут знаменник можна розкласти на два різні лінійні множники:

$q(x)=x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$

Отже, ми маємо такий розклад

$f(x)=\frac{1}{x^2+2x-3}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-1}$

Множення на x² + 2x − 3 дає нам таке рівняння

$1=A(x-1)+B(x+3)$

Заміна x = −3 дає A = −1/4 і заміна x = 1 дає B = 1/4. Отже,

$f(x)=\frac{1}{x^2+2x-3}=\frac{1}{4}(\frac{-1}{x+3}+\frac{1}{x-1})$

Приклад 2

$f(x)=\frac{x^3+16}{x^3-4x^2+8x}$

Після ділення многочленів, ми маємо

$f(x)=1+\frac{4x^2-8x+16}{x^3-4x^2+8x}=1+\frac{4x^2-8x+16}{x(x^2-4x+8)}$

Оскільки (−4)² − 4×8 = −16 < 0, множник x² − 4x + 8 є незвідним і розклад на прості дроби над полем дійсних чисел такий

$\frac{4x^2-8x+16}{x(x^2-4x+8)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-4x+8}$

Множачи на x³ − 4x² + 8x, отримуємо тотожність

$4x^2-8x+16=A(x^2-4x+8)+(Bx+C)x$

Беручи x = 0, ми бачимо, що 16 = 8A, отже A = 2. Порівнюючи коефіцієнти при x² ми бачимо, що 4 = A + B = 2 + B, отже B = 2. З порівняння лінійних коефіцієнтів ми бачимо, що −8 = −4A + C = −8 + C, отже C = 0. В підсумку,

$f(x)=1+2(\frac{1}{x}+\frac{x}{x^2-4x+8})$

Приклад 3

Цей приклад демонструє майже всі можливі хитрощі, які могли б знадобитися в розв'язанні за допомогою СКА.

$f(x)=\frac{x^9-2x^6+2x^5-7x^4+13x^3-11x^2+12x-4}{x^7-3x^6+5x^5-7x^4+7x^3-5x^2+3x-1}$

Після ділення многочленів і факторизації знаменника, маємо

$f(x)=x^2+3x+4+\frac{2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x}{(x-1{)}^3(x^2+1{)}^2}$

Розклавши на прості дроби отримує таку форму

$\frac{2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x}{(x-1{)}^3(x^2+1{)}^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1{)}^2}+\frac{C}{(x-1{)}^3}+\frac{Dx+E}{x^2+1}+\frac{Fx+G}{(x^2+1{)}^2}$

Множачи на (x − 1)³(x² + 1)² переходимо до тотожних многочленів

$\begin{array}{cc}& 2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x\\ & =A(x-1{)}^2(x^2+1{)}^2+B(x-1)(x^2+1{)}^2+C(x^2+1{)}^2+(Dx+E)(x-1{)}^3(x^2+1)+(Fx+G)(x-1{)}^3\end{array}$

Беручи x = 1 отримуємо 4 = 4C, отже C = 1. Так само, беручи x = i отримуємо 2 + 2i = (Fi + G)(2 + 2i), отже Fi + G = 1, звідси F = 0 і G = 1 через прирівнювання дійсних і уявних складових. З C = G = 1 і F = 0, беручи x = 0 ми отримуємо A − B + 1 − E − 1 = 0, таким чином E = A − B.

Маємо тотожність

$\begin{array}{cc}& 2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x\\ & =A(x-1{)}^2(x^2+1{)}^2+B(x-1)(x^2+1{)}^2+(x^2+1{)}^2+(Dx+(A-B))(x-1{)}^3(x^2+1)+(x-1{)}^3\\ & =A((x-1{)}^2(x^2+1{)}^2+(x-1{)}^3(x^2+1))+B((x-1)(x^2+1)-(x-1{)}^3(x^2+1))+(x^2+1{)}^2+Dx(x-1{)}^3(x^2+1)+(x-1{)}^3\end{array}$

Розкриваючи дужки і сортуючи степені x отримуємо

$\begin{array}{cc}& 2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x\\ & =(A+D)x^6+(-A-3D)x^5+(2B+4D+1)x^4+(-2B-4D+1)x^3+(-A+2B+3D-1)x^2+(A-2B-D+3)x\end{array}$

Тепер ми можемо порівняти коефіцієнти і побачити, що

$\begin{array}{ccc}A+D& =& 2\\ -A-3D& =& -4\\ 2B+4D+1& =& 5\\ -2B-4D+1& =& -3\\ -A+2B+3D-1& =& 1\\ A-2B-D+3& =& 3,\end{array}$

з A = 2 − D і −A −3 D =−4 випливає, що A = D = 1 і з цього B = 0, далі C = 1, E = A − B = 1, F = 0 і G = 1.

Отже, розклад на прості дроби для ƒ(x) такий

$f(x)=x^2+3x+4+\frac{1}{(x-1)}+\frac{1}{(x-1{)}^3}+\frac{x+1}{x^2+1}+\frac{1}{(x^2+1{)}^2}.$

Замість розкривання дужок, інші лінійні залежності коефіцієнтів можна було отримати через обчислення похідних у x=1 і x=i в попередній поліноміальній тотожності. (Для цього згадаймо, що похідна в x=a від (x−a)^mp(x) зникає якщо m > 1 і є просто p(a) якщо m=1.) Отже, наприклад, перша похідна в x=1 дає

$2\cdot 6-4\cdot 5+5\cdot 4-3\cdot 3+2+3=A\cdot (0+0)+B\cdot (2+0)+8+D\cdot 0$

тобто 8 = 2B + 8 отже B=0.

Розкладання раціональних дробів на елементарні дроби

Класичним прикладом застосування методу невизначених коефіцієнтів є розкладання правильного раціонального дробу в області комплексних або дійсних чисел на найпростіші дроби.

Нехай $p(z)$ і $q(z)$ — многочлени з комплексними коефіцієнтами, причому степінь многочлена $p(z)$ менше степені многочлена $q(z)$, коефіцієнт при старшому члені многочлена $q(z)$ дорівнює 1, $z_i$ $i\in \{1,..,k\}$ ― корені многочлена $q(z)$ з кратностями ${\alpha }_i$, отже,

$q(z)=(z-z_1{)}^{{\alpha }_1}(z-z_2{)}^{{\alpha }_2}..(z-z_k{)}^{{\alpha }_k}$

Функція $p/q$ може бути подана, і причому єдиним способом, у вигляді суми елементарних дробів

$\frac{p(z)}{q(z)}=\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^{{\alpha }_i}\frac{A_{i,j}}{(z-z_i{)}^j},$

де $A_{i,j}$ ― невідомі поки комплексні числа (їх кількість дорівнює степені $q$). Для їх знаходження обидві частини рівності приводять до спільного знаменника. Після його відкидання і приведення в правій частині подібних членів одержується рівність, яка зводиться до системи лінійних рівнянь відносно $A_{i,j}$.

Примітка. Знаходження невідомих можна спростити, якщо $q(z)$ має некратні корені $z_j$. Після множення на $z-z_j$ останньої рівності і підстановки $z=z_j$ безпосередньо одержуємо значення відповідного коефіцієнта $A_j=\frac{p(z_j)}{\prod _{i\ne j}(z_j-z_i{)}^{{\alpha }_i}}$.

Джерела

• Шаблон:Cite book

Див. також

• Розкладання дробів при інтегруванні

Посилання

• Шаблон:MathWorld