Розкладання дробів при інтегруванні

В інтегруванні, розкладання дробів дозволяє інтегрувати раціональні функції. Будь-яка раціональна функція може бути представлена у вигляді суми деякого многочлена і деякого числа дробових функцій. Кожен дріб має знаменник у вигляді многочлена першого і другого степеня, до того ж многочлен в знаменнику, в свою чергу, також може бути піднесеним до деякого додатного цілого степеня. (У випадку комплексної змінної, знаменники є многочленами першого степеня, і ці многочлени можуть бути піднесені до цілого додатного степеня). Якщо знаменник є многочленом першого степеня, піднесений в деякий цілий додатній степінь, то чисельник дробу є постійним числом. Якщо знаменник є многочленом другого степеня (або деякого цілого додатного степеня такого многочлена), тоді чисельник є многочленом першого степеня.

Рішення Ісаака Барроу для інтегралу від секансу було першим випадком використання розкладання дробів в інтегруванні.

Неформальний опис

Відомо, що многочлен n-го степеня в загальному випадку має n комплексно-спряжених коренів (деякі корені можуть збігатися). Наприклад, многочлен x² − 6x + 8 має два корені; многочлен x³ − 6x² + 8x + 7 має три корені тощо.

Відповідно, будь-який многочлен може бути розкладений за формулою

$a{x}^n+b{x}^{n-1}+...+k=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_n)$

де $x_1$, $x_2$…$x_n$ — корені многочлена.

Наприклад, многочлен x² − 6x + 8 можна розкласти наступним чином:

x² − 6x + 8 = (x - 2)(x - 4),

де 2 і 4 — корені квадратного рівняння x² − 6x + 8=0.

Отже, дріб, знаменником якої є многочлен, може бути розкладений наступним чином:

$\frac{1}{a{x}^n+b{x}^{n-1}+...+k}=\frac{A}{a}+\frac{B}{(x-x_1)}+\frac{C}{(x-x_2)}+\frac{D}{(x-x_3)}+...+\frac{K}{(x-x_n)}$.

Ця операція розкладання дробу в деякому сенсі зворотня операції приведення дробу до спільного знаменника, з тією лише різницею, що тут ставиться зворотня задача — не привести дріб до спільного знаменника, а розкласти дріб, що має спільний знаменник, на декілька дробів, що мають різні знаменники.

Для прикладу розкладемо дріб

$\frac{1}{x^2-6x+8}$.

Згідно з тим, що написано вище, розклад цього дробу буде таким

$\frac{1}{x^2-6x+8}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-4}$.

Почнемо приводити два дроби у правій частині рівняння до спільного знаменника, і, очевидно, що чисельник, отриманого дробу буде рівним чисельнику первісного дробу

$\frac{1}{x^2-6x+8}$,

тобто, чисельник отриманого дробу буде дорівнювати одиниці.

Маємо

$\frac{1}{x^2-6x+8}=\frac{A(x-4)}{(x-2)(x-4)}+\frac{B(x-2)}{(x-4)(x-2)}$.

Записуючи два дроба з правого боку під одну риску, отримаємо

$\frac{1}{x^2-6x+8}=\frac{A(x-4)+B(x-2)}{(x-2)(x-4)}$.

Розкривши дужки в знаменнику, отримаємо

$\frac{1}{x^2-6x+8}=\frac{A(x-4)+B(x-2)}{x^2-6x+8}$.

Враховуючи, що знаменники однакові, то чисельники дробів з правої і лівої сторони можна порівняти; тоді отримаємо:

$1=A(x-4)+B(x-2)$.

Розкриємо дужки з правої частини рівності та згрупуємо доданки:

$1=(A+B)x+(-4A-2B)$.

В лівій частині множник при змінній х дорівнює нулю (змінна х відсутня), а вільний член дорівнює 1. В правій частині рівності множник при х дорівнює (А+В), а вільний член дорівнює (-4A — 2B). Прирівнюючи множники при х в правій і лівій частинах отримуємо рівняння:

$(A+B)=0$.

Аналогічно прирівнюємо вільні члени, і отримуємо рівняння:

$(-4A-2B)=1$.

Об'єднуємо ці два рівняння в систему:

$\{\begin{array}{c}A+B=0\\ -4A-2B=1\end{array}$.

Розв'язуючи цю систему, знаходимо,що

$A=-\frac{1}{2}$,

$B=\frac{1}{2}$.

Отже, маємо розклад

$\frac{1}{x^2-6x+8}=\frac{-1/2}{x-2}+\frac{1/2}{x-4}$

Тоді, інтеграл від дробу

$\int \frac{1}{x^2-6x+8}dx$

буде дорівнювати сумі інтегралів від двох дробів

$\int \frac{1}{x^2-6x+8}dx=\int \frac{-1/2}{x-2}dx+\int \frac{1/2}{x-4}dx$.

Враховуючи, що під знаком диференціалу до змінної можна додавати будь-яку константу, запишемо

$\int \frac{1}{x^2-6x+8}dx=\int \frac{-1/2}{x-2}d(x-2)+\int \frac{1/2}{x-4}d(x-4)$

Зробимо дві заміни

$(x-2)=z$, $(x-4)=y$.

Тоді інтеграл прийме вигляд

$\int \frac{1}{x^2-6x+8}dx=-\frac{1}{2}\int \frac{1}{z}d(z)+\frac{1}{2}\int \frac{1}{y}d(y)$.

Ці два інтеграли можна знайти за таблицею інтегралів. Тоді остаточно отримуємо:

$\int \frac{1}{x^2-6x+8}dx=-\frac{1}{2}\ln |z|+\frac{1}{2}\ln |y|+C$

або

$\int \frac{1}{x^2-6x+8}dx=-\frac{1}{2}\ln |x-2|+\frac{1}{2}\ln |x-4|+C$.

Многочлен першого степеня в знаменнику

Підстановка u = ax + b, du = a dx дозволяє спростити інтеграл

$\int \frac{1}{ax+b}dx$

до

$\int \frac{1}{u}\frac{du}{a}=\frac{1}{a}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{a}\ln \left|u\right|+C=\frac{1}{a}\ln |ax+b|+C.$

Многочлен першого степеня в знаменнику, зведений до деякого цілого додатного степеня

Та ж сама підстановка спрощує інтеграл, подібний наступному

$\int \frac{1}{(ax+b{)}^8}dx$

до

$\int \frac{1}{u^8}\frac{du}{a}=\frac{1}{a}\int u^{-8}du=\frac{1}{a}\cdot \frac{u^{-7}}{(-7)}+C=\frac{-1}{7a{u}^7}+C=\frac{-1}{7a(ax+b{)}^7}+C.$

В знаменнику многочлен другого степеня, який не має дійсних коренів

Розглянемо інтеграл

$\int \frac{x+6}{x^2-8x+25}dx.$

Найпростіший шлях побачити, що знаменник x² − 8x + 25 не має дійсних коренів, полягає в тому, щоб обчислити його дискримінант, і побачити, що цей дискримінант від'ємний. Іншим чином, можна виділити повний квадрат в знаменнику:

$x^2-8x+25=(x^2-8x+16)+9=(x-4{)}^2+9$

і можна побачити, що знаменник являє собою суму квадратів двох чисел, і ця сума ніколи не може бути рівною 0 або менше 0, якщо x — дійсне число.

Використовуючи підстановку

$\begin{array}{cc}u& =x^2-8x+25\\ du& =(2x-8)dx\\ du/2& =(x-4)dx\end{array}$

нам потрібно виділити вираз x − 4 в чисельнику. Тоді мі зможемо записати чисельник x + 6 у вигляді суми (x − 4) + 10, і тоді інтеграл буде записан у вигляді

$\int \frac{x-4}{x^2-8x+25}dx+\int \frac{10}{x^2-8x+25}dx.$

Наведена вище підстановка дозволяє взяти перший із цих двох інтегралів:

$\int \frac{x-4}{x^2-8x+25}dx=\int \frac{du/2}{u}=\frac{1}{2}\ln \left|u\right|+C=\frac{1}{2}\ln (x^2-8x+25)+C.$

Причина, з якої ми можемо опустити модульні дужки, є у тому, що, як ми казали раніше, вираз (x − 4)² + 9 не може мати від'ємних значень.

Далі треба взяти інтеграл

$\int \frac{10}{x^2-8x+25}dx.$

В першу чергу, виділимо повний квадрат в знаменнику, після чого проведемо не складні алгебраїчні перетворення:

$\begin{array}{cc}& \int \frac{10}{x^2-8x+25}dx=\int \frac{10}{(x-4{)}^2+9}dx\\ & =\int \frac{10/9}{{\left(\frac{x-4}{3}\right)}^2+1}dx=\frac{10}{3}\int \frac{1}{{\left(\frac{x-4}{3}\right)}^2+1}\left(\frac{dx}{3}\right)\end{array}$

Тепер використаємо наступну підстановку

$w=(x-4)/3$

$dw=dx/3$

що дозволяє знайти

$\frac{10}{3}\int \frac{dw}{w^2+1}=\frac{10}{3}\mathrm{arctg}w+C=\frac{10}{3}\mathrm{arctg}\left(\frac{x-4}{3}\right)+C.$

Додаючи обидва знайдених вирази, запишемо результат інтегрування

$\int \frac{x+6}{x^2-8x+25}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2-8x+25)+\frac{10}{3}\mathrm{arctg}\left(\frac{x-4}{3}\right)+C.$

Використання комплексного розкладу

В деяких випадках зручніше використовувати комплексний розклад многочлена. Так, у наведеному вище прикладі:

$\int \frac{x+6}{x^2-8x+25}dx$

Розкладаємо знаменник на два комплексні множники:

$x^2-8x+25=(x-4+3i)(x-4-3i)$

Після чого шукаємо розклад підінтегрального виразу на два доданки:

$\frac{x+6}{x^2-8x+25}=\frac{A}{x-4+3i}+\frac{B}{x-4-3i}$

Вирішивши нескладну систему лінійних рівнянь, отримуємо:

$A=\frac{1}{2}+\frac{5}{3}i,B=\frac{1}{2}-\frac{5}{3}i$

$\int \frac{x+6}{x^2-8x+25}dx=(\frac{1}{2}+\frac{5}{3}i)\int \frac{1}{x-4+3i}dx+(\frac{1}{2}-\frac{5}{3}i)\int \frac{1}{x-4+3i}dx$

Після інтегрування маємо:

$(\frac{1}{2}+\frac{5}{3}i)\ln (x-4+3i)+(\frac{1}{2}-\frac{5}{3}i)\ln (x-4-3i)+C$

Згрупуємо окремо дійсні та уявні доданки:

$\frac{1}{2}(\ln (x-4+3i)+\ln (x-4-3i))+\frac{5}{3}i(\ln (x-4+3i)-\ln (x-4-3i))+C$

$\frac{1}{2}\ln ((x-4+3i)(x-4-3i))+\frac{5}{3}i\ln \frac{x-4+3i}{x-4-3i}+C$

$\frac{1}{2}\ln (x^2-8x+25)+\frac{5}{3}i\ln \frac{1-i\frac{x-4}{3}}{1+i\frac{x-4}{3}}+C$

Як відомо, арктангенс комплексного змінного виражаеться через логарифм:

$\mathrm{arctg}z=\frac{1}{2}i\ln \frac{1-iz}{1+iz}$

Це дає нам можливість переписати другий доданок через арктангенс:

$\frac{1}{2}\ln (x^2-8x+25)+\frac{10}{3}\mathrm{arctg}\frac{x-4}{3}+C$

В знаменнику многочлен другого степеня, зведений до цілого додатного степеня

Розглянемо інтеграл

$\int \frac{x+6}{(x^2-8x+25{)}^8}dx.$

Так само, як це робилося вище, можна представити чисельник x + 6 у вигляді суми (x − 4) + 10, і взяти ту частину, котра містить вираз x − 4, за допомогою підстановки

$\begin{array}{cc}u& =x^2-8x+25,\\ du& =(2x-8)dx,\\ du/2& =(x-4)dx.\end{array}$

Нам залишається лише знайти інтеграл

$\int \frac{10}{(x^2-8x+25{)}^8}dx.$

Як це робилося вище, спочатку виділимо повний квадрат, після цього зробимо нескладні математичні дії

$\int \frac{10}{(x^2-8x+25{)}^8}dx=\int \frac{10}{((x-4{)}^2+9{)}^8}dx=\int \frac{10/9^8}{{({\left(\frac{x-4}{3}\right)}^2+1)}^8}dx.$

Після цього можна використовувати підстановку:

$\mathrm{tg}\theta =\frac{x-4}{3},$

${\left(\frac{x-4}{3}\right)}^2+1={\mathrm{tg}}^2\theta +1={\sec }^2\theta ,$

$d(\mathrm{tg}\theta )={\sec }^2\theta d\theta =\frac{dx}{3}.$

Після чого інтеграл приймає вигляд

$\int \frac{30/9^8}{{\sec }^{16}\theta }{\sec }^2\theta d\theta =\frac{30}{9^8}\int {\cos }^{14}\theta d\theta .$

Декілька разів використовуючи формулу

${\cos }^2\theta =\frac{1}{2}(1+\cos (2\theta )),$

можна спрощувати цей інтеграл, до поки підінтегральний вираз не буде мати cos θ в степені, більше ніж 1.

Далі варто виразити sin(θ) і cos(θ) як функції від x. Приймемо, що

$\mathrm{tg}(\theta )=\frac{x-4}{3},$

і що тангенс = (протилежна сторона)/(прилегла сторона). Якщо «протилежна» сторона має довжину x − 4 і «прилегла» сторона має довжину 3, то згідно теоремі Піфагора гіпотенуза має довжину √((x − 4)² + 3²) = √(x² −8x + 25).

Маємо

$\sin (\theta )=\frac{x-4}{\sqrt{x^2-8x+25}},$

$\cos (\theta )=\frac{3}{\sqrt{x^2-8x+25}},$

і

$\sin (2\theta )=2\sin (\theta )\cos (\theta )=\frac{6(x-4)}{x^2-8x+25}.$

Посилання

• Partial Fraction Expander
• Mathematical Assistant on Web Шаблон:Webarchive online calculation of integrals, allows to integrate in small steps (includes partial fractions, powered by Maxima (software))

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Высшая математика в упражнениях и задачах. (В 2-х частях) Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевников Т. Я. 4-е изд., испр. и доп.— M.: Высш. шк., 1986. ч.1 — 304с.; ч.2 — 416с