Розклад Шура

Розклад Шура — представлення квадратної матриці $A$ з комплексними коефіцієнтами у вигляді

$A=UR{U}^{\ast },$

де U — унітарна матриця, R — верхня трикутна матриця.

Властивості

• Очевидно, що матриця $R$ подібна до матриці $A$, отже в них всі власні значення збігаються, а оскільки $R$ — трикутна, то вони знаходяться в неї на головній діагоналі.

• Матриця $A$ буде нормальною тоді і тільки тоді, коли матриця $R$ в розкладі Шура буде діагональною. Отже для нормальних матриць спектральний розклад та розклад Шура збігаються.

• Якщо квадратні матриці $A,B$ є переставними, то їх можна привести до трикутного вигляду одною унітарною матрицею:

$\mathrm{\exists }U,R_1,R_2:A=U{R}_1{U}^{\ast },B=U{R}_2{U}^{\ast }.$

ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних матриць.

• Наслідком з попередньої властивості є одночасна діагоналізація переставних нормальних матриць (див. Переставні матриці).

Узагальнений розклад Шура

Квадратні матриці $A,B$ можуть бути представлені у вигляді:

$A=Q{R}_1{Z}^{\ast },B=Q{R}_2{Z}^{\ast }$

де

$Q,Z$ — унітарні матриці,

$R_1,R_2$ — верхні трикутні матриці.

Ще відомий під назвою QZ-розклад. Узагальнює сингулярний розклад матриці.

Дивись також

• Теорія матриць
• Розклад матриці

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць