Редуковане кільце

У абстрактній алгебрі редукованим називається кільце в якому немає ненульових нільпотентних елементів. Дане поняття є важливим у алгебричній геометрії де на його основі також вводиться поняття редукованої схеми.

Означення

Нехай $R$ — кільце. Воно називається редукованим якщо для кожного $r\in R$

$r^n=0\iff r=0$

Для комутативних кілець еквівалентно можна сказати, що кільце є редукованим, якщо його нільрадикал є нульовим ідеалом:

$\sqrt{(0)}=(0)$

• Еквівалентно, кільце є редукованим якщо для всіх $r\in R$:

$r^2=0\iff r=0$

Приклади

• Кільце цілих чисел $\mathbb{Z}$ і кільце многочленів над будь-яким полем є редукованими.
• Більш загально будь-яка область цілісносні є редукованим кільцем.
• Для будь-якого комутативного кільця R, кільце $R/\sqrt{(0)}$ є редукованим. Більш загально кільце $R/I$ є редукованим тоді і тільки тоді, коли ідеал I є радикальним, тобто $I=\sqrt{I}$.
• Кільце $\mathbb{Z}/4$ містить ненульовий нільпотентний елемент $2$ і тому не є редукованим. Натомість кільце $\mathbb{Z}/6$ є редукованим і є прикладом редукованого комутативного кільце, що не є областю цілісності. В загальному випадку $\mathbb{Z}/n$ є редукованим тоді і тільки тоді, коли n = 0 або n є натуральним числом вільним від квадратів.
• Кільце $K[X]/(X^2)$ не є редукованим, оскільки ненульовий елемент $X$ є нільпотентним.
• Кільця матриць над будь-яким кільцем не є редукованими. Наприклад для матриць порядку 2 над будь-яким кільцем з одиницею $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$
• Комутативне кільце R характеристики p є редукованим тоді і тільки тоді, коли його ендоморфізм Фробеніуса є ін'єктивним.

Властивості

• Будь-яке редуковане кільце є напівпростим (тобто з того, що J^k = {0} для деякого ідеалу J випливає, що J = {0}). Для комутативних кілець поняття редукованості і напівпростоти є еквівалентними. Натомість існують некомутативні кільця що є напівпростими але не редукованими.

Зокрема, як описано в прикладах, кільце квадратних матриць над будь яким кільцем не є редукованим. Натомість двосторонні ідеали кільця $M_n(R)$ мають вид $M_n(I),$ де I — двосторонній ідеал кільця R, а тому якщо $M_n(I)M_n(I)=0$ то і II = 0. У випадку напівпростого кільця звідси I = 0 і тому $M_n(I)=0.$ Тобто кільця квадратних матриць над напівпростими кільцями є напівпростими але не редукованими.

• Підкільця, добутки, локалізації (у комутативному випадку) редукованих кілець є редукованими кільцями.

У випадку локалізації за мультиплікативною множиною S ненульовий елемент r/s де $r\in R,s\in S$ буде нільпотентним тоді і тільки тоді коли $t{r}^n=0$ для деяких $t\in S,n\in \mathbb{N}.$ Але тоді tr є нільпотентним елементом у R. До того ж tr не є нульовим оскільки тоді б r/s був нульовим елементом у локалізації.

• Якщо всі локалізації за максимальними ідеалами комутативного кільця R є редукованими, то R теж є редукованим.

Припустимо x є ненульовим елементом в R і xⁿ=0. Анігілятор ann(x) міститься в деякому максимальному ідеалі $𝔪$. Образ елемента x є ненульовим в локалізації кільця R за ідеалом $𝔪$ оскільки в іншому випадку $xs=0$ для деякого $s\in ̸𝔪$ і $s$ належить анігілятору x, всупереч означенню $𝔪$. Тому локалізація R за $𝔪$ не є редукованим кільцем.

• Множина D дільників нуля у комутативному редукованому кільці є рівною об'єднанню мінімальних простих ідеалів.

Нехай ${𝔭}_i$ — множина (можливо порожня) мінімальних простих ідеалів.

$D\subset \cup {𝔭}_i:$ Нехай x є дільником нуля тобто xy = 0 для деякого ненульового y. Оскільки R є редукованим, то (0) є перетином усіх ${𝔭}_i$ і тому y не належить деякому ${𝔭}_j$. Оскільки натомість xy належить усім ${𝔭}_i$ то x є елементом ${𝔭}_j$.

$D\supset {𝔭}_i:$ Нехай $S=\{xy|x\in R-D,y\in R-𝔭\}$. S є мультиплікативною множиною і тому можна розглянути локалізацію $R\to R[S^{-1}]$. Позначимо $𝔮$ прообраз максимального ідеалу. Тоді $𝔮$ є підмножиною D і ${𝔭}_i$ і з мінімальності $𝔮={𝔭}_i$.

• Для загального (не обов'язково комутативного) редукованого кільця R будь-який мінімальний простий ідеал I є сильно простим, тобто R/I є цілісним кільцем.
• Кільце R є редукованим, тоді і тільки тоді, коли воно є підпрямим добутком кілець цілісності, тобто воно є ізоморфним деякому підкільцю прямого добутку кілець $R_{\lambda },\lambda \in \mathrm{\Lambda }$ для якого усі проєкції на $R_{\lambda }$ є сюр'єктивними.

Редукована схема

Схема $(X,{𝒪}_X)$ називається редукованою, якщо для кожної відкритої множини $U\subset X$ кільце ${𝒪}_X(U)$ є редукованим. Еквівалентно якщо для кожної точки $x\in X$ локальне кільце

${𝒪}_{X,x}={\lim }_{V\ni x}ℱ(V)$

є редукованим.

Якщо всі локальні кільця X є редукованими і для елемента $f\in {𝒪}_X(U)$ виконується рівність $f^n=0,$ то образ $f^n$ у ${𝒪}_{U,u}$ є рівним нулю для всіх $u\in U$ і тому $f$ теж є рівним нулю у всіх цих кільцях. З означення схеми звідси випливає, що $f=0.$

Навпаки, якщо ${𝒪}_X(U)$ є редукованим для всіх відкритих підмножин $U$ і ненульового $f\in {𝒪}_{X,x}$ то для будь-якого представника $(U,\overline{f}\in 𝒪(U))$ елемента $f$ з означення локального кільця, елемент $\overline{f}$ є ненульовим і тому не є нільпотентним. Звідси $f$ теж не є нільпотентним у ${𝒪}_{X,x}.$ Звідси випливає еквівалентність двох означень редуковності схем.

Зокрема афінна схема $X=\mathrm{Spec}(R)$ є редукованою тоді і тільки тоді коли кільце R є редукованим.

Див. також

• Нільрадикал
• Нормальне кільце
• Область цілісності

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book