Поверхня Гурвіца

Будь-яка поверхня Гурвіца має тріангуляцію як фактор-простір Шаблон:Не перекладено, причому автоморфізми цієї тріангуляції збігаються з рімановими та алгебричними автоморфізмами поверхні

Поверхня Гурвіца — компактна ріманова поверхня, що має рівно

$84(g-1)$

автоморфізмів, де $g$ — рід поверхні. Їх також називають кривими Гурвіца, розуміючи їх при цьому як комплексні алгебричні криві (комплексна розмірність 1 відповідає дійсній розмірності 2).

Названо на честь німецького математика Адольфа Гурвіца.

Властивості

• Це число, $84(g-1)$, виходячи з Шаблон:НпШаблон:Sfn, є максимальним.

• Фуксова група поверхні Гурвіца є нормальною підгрупою скінченного індексу в (звичайній) Шаблон:Нп, а також не має скруту. Скінченна фактор-група є точно групою автоморфізмів.

• Автоморфізми комплексної алгебричної кривої є автоморфізмами підлеглої дійсної поверхні, що зберігають орієнтацію. Якщо розглядати також ізометрії, що обертають орієнтацію, то вийде вдвічі більша група порядку $168(g-1)$, яка іноді становить інтерес.

Зауваження

Тут під групою трикутника (2,3,7) найчастіше розуміємо не повну групу трикутника Δ(2,3,7) (група Коксетера з трикутником Шварца (2,3,7), або реалізована як гіперболічна Шаблон:Не перекладено), а скоріше звичайну групу трикутника (Шаблон:Нп) D (2,3,7) відображень, що зберігають орієнтацію, яка має індекс 2. Група комплексних автоморфізмів є фактор-групою звичайної групи трикутника, тоді як група ізометрій (з можливою зміною орієнтації) є фактор-групою повної групи трикутника.

Приклади

Поверхня Гурвіца мінімального роду — це Шаблон:Не перекладено роду 3, з групою автоморфізмів PSL(2,7) (проєктивна спеціальна лінійна група), що має порядок 84(3−1) = 168 = 2²·3·7 і є простою групою. Наступний допустимий рід дорівнює семи і має поверхню Макбіта з групою автоморфізмів PSL(2,8), яка є простою групою порядку 84(7−1) = 504 = 2²·3²·7. Якщо розглядати також ізометрії, що змінють орієнтацію, порядок групи дорівнюватиме 1008.

Цікавий феномен спостерігається з наступним можливим значенням роду, а саме з 14. Тут є трійка різних ріманових поверхонь з ідентичними групами автоморфізмів (порядку 84(14−1) = 1092 = 2²·3·7·13). Пояснення цього феномена є арифметичним. А саме, в кільці цілих відповідного числового поля раціональне просте 13 розкладається на добуток трьох різних простих ідеалів. Шаблон:Не перекладено, визначені трійкою простих ідеалів, дають фуксові групи, що відповідають Шаблон:Не перекладено.

Див. також

• Шаблон:Не перекладено

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття