Група Коксетера

Група Коксетера — група, породжена відображеннями в гранях $n$-вимірного многогранника, в якого кожен двогранний кут становить цілу частину від $\pi$ (тобто дорівнює $\pi /k$ для деякого цілого $k$). Такі многогранники називаються многогранниками Коксетера. Групи Коксетера визначаються для багатогранників у евклідовому просторі, на сфері, а також у гіперболічному просторі.

Приклади

• Скінченним групам Коксетера ізоморфні, зокрема, групи Вейля простих алгебр Лі.
• Многогранники Коксетера в евклідовому просторі розмірності $n$:
  • $n$-вимірний куб довільної розмірності.
  • $n$-вимірний симплекс, утворений точками з координатами $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ такими, що $0⩽x_1⩽x_2⩽\dots ⩽x_n⩽1$.
• Многогранники Коксетера в одиничній сфері розмірності $n$:
  • правильний $n$-вимірний симплекс зі стороною $\pi /2$.
• Многогранники Коксетера у гіперболічних просторах:
  • Правильний $k$- многокутник із кутом $\pi /m$.
  • Правильний прямокутний додекаедр у розмірності $3$.
  • Правильний прямокутний стодвадцятикомірник у розмірності $4$.

Властивості

• Групи Коксетера описуються і класифікуються за допомогою діаграм Коксетера — Динкіна.
• Многогранник Коксетера є фундаментальною областю дії групи Коксетера.
  • Зокрема, многогранник Коксетера замощує простір.
  • Зокрема, будь-яка евклідова група Коксетера є прикладом точкової групи.
• Теорема Вінберга. У гіперболічних просторах всіх досить великих розмірностей обмежених многогранників Коксетера не існує.
• Сферичні многогранники Коксетера є симплексами.
• Многогранники Коксетера є простими.
• Позначимо через $\{r_1,r_2,\dots ,r_n\}$ відображення в гранях многогранника, і нехай $\pi /m_{ij}$ є двогранний кут між гранями $i$ і $j$. Нехай $m_{ij}=\mathrm{\infty }$, якщо грані не утворюють двогранного кута у многограннику, і $m_{ii}=1$. Тоді групу Коксетера можна задати так:

  $⟨r_1,r_2,\dots ,r_n\mid (r_i{r}_j{)}^{m_{ij}}=1⟩$

Варіації та узагальнення

• Групами Коксетера також називають узагальнення класу груп, описаного вище, що визначається за допомогою задання:

  $⟨r_1,r_2,\dots ,r_n\mid (r_i{r}_j{)}^{m_{ij}}=1⟩$,

де $m_{ii}=1$ і $m_{ij}⩾2$ при $i\ne j$.

Див. також

• Група комплексних відображень
• Число Коксетера

Література

• Шаблон:Стаття JSTOR 1968753