Перетворення Ганкеля

Шаблон:UniboxУ математиці перетворення Ганкеля (Ханкеля) виражає будь-яку дану функцію $f(r)$ як зважену суму нескінченної кількості функцій Бесселя першого роду $J_{\nu }(kr)$. Всі функції Бесселя в сумі мають однаковий порядок $\nu$, але відрізняються коефіцієнтом масштабування $k$ вздовж осі $r$. Необхідний коефіцієнт Шаблон:Math кожної функції Бесселя в сумі, як функція коефіцієнта масштабування $k$, визначає перетворювану функцію. Перетворення Ганкеля є інтегральним перетворенням і було вперше отримано математиком Германом Ганкелем. Воно також відоме як перетворення Фур'є-Бесселя. Подібно до того, як перетворення Фур'є для нескінченного інтервалу пов'язане з рядом Фур'є над скінченним інтервалом, так і перетворення Ганкеля над нескінченним інтервалом пов'язане з рядом Фур'є-Бесселя над скінченим інтервалом.

Визначення

Перетворення Ганкеля порядку $\nu$ функції $f(r)$ задається формулою

$f(r)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{F}_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)k\mathrm{d}k,$

де $J_{\nu }$ — функція Бесселя першого роду порядку $\nu$ при $\nu \ge -\frac{1}{2}$. Обернене перетворення Ганкеля $F_{\nu }(k)$ визначається формулою

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(r)|r^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}r<\mathrm{\infty }.$

яку можна легко перевірити, використовуючи співвідношення ортогональності, описане нижче.

Область визначення

Існування оберненого перетворення Ганкеля функції $f(r)$ справедливо для кожної точки, в якій $f(r)$ неперервна, за умови, що функція визначена на $(0;\mathrm{\infty })$, є кусково неперервною й обмеженої варіації на будь-якому скінченому підінтервалі в $(0;\mathrm{\infty })$ та

$h_{\nu }(k)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(r)J_{\nu }(kr)\sqrt{kr}\mathrm{d}r.$

Однак, як і для перетворення Фур'є, область може бути розширена на області всюди щільного аргументу, щоб включити деякі функції, для яких вищенаведений інтеграл не є скінченим, наприклад $f(r)=(1+r{)}^{-3/2}$.

Альтернативні означення

За альтернативним означенням перетворення Ганкеля для функції $g(r)$ це

Якщо $g(r)=f(r)\sqrt{r}$, то $h_{\nu }(k)=F_{\nu }(k)\sqrt{k}.$

Ці два означення пов'язані між собою:

$g(r)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{h}_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\sqrt{kr}\mathrm{d}k.$

Це означає, що, як в першому означенні, перетворення Ганкеля тут є оберненим до самого себе:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|g(r)|\mathrm{d}r<\mathrm{\infty },$

На області визначення виконується умова

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(r)g(r)r\mathrm{d}r=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{F}_{\nu }(k)G_{\nu }(k)k\mathrm{d}k.$

Отже, перетворення Ганкеля можна розширити на ширший клас функцій. Відповідно до наведеного вище посилання, якщо взяти інтеграл як границю з верхньою межею, що прямує до нескінченності (невласний інтеграл, а не інтеграл Лебега), то перетворення Ганкеля та відповідне обернене перетворення визначені для всіх функцій з простору L ²$(0;\mathrm{\infty })$.

Перетворення рівняння Лапласа

Перетворення Ганкеля може бути використано для перетворення та розв’язання рівняння Лапласа, записаного в циліндричних координатах. Під дією перетворення Ганкеля, оператор Бесселя домножується на $-q^2$. В осесиметричному випадку рівняння з частинними похідними набуває вигляду

${\mathscr{H}}_0\{\frac{{\partial }^{2}u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}\}=-q^{2}U+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}U,$

що є звичайним диференціальним рівнянням відносно перетвореної змінній $U$.

Ортогональність

Функції Бесселя утворюють ортогональний базис з ваговим коефіцієнтом $r$:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{J}_{\nu }(kr)J_{\nu }(k^{\prime }r)r\mathrm{d}r=\frac{\delta (k-k^{\prime })}{k},k,k^{\prime }>0.$

Теорема Планшереля та теорема Персеваля

Якщо $f(r)$ і $g(r)$ є такими, що їх перетворення Ганкеля $F_{\nu }(k)$ і $G_{\nu }(k)$ є добре визначеним, то теорема Планшереля стверджує:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(r)g(r)r\mathrm{d}r=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{F}_{\nu }(k)G_{\nu }(k)\mathrm{d}k.$

Теорема Персеваля, яка стверджує

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(r){|}^{2}r\mathrm{d}r=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|F_{\nu }(k){|}^{2}k\mathrm{d}k,$

є частинним випадком теореми Планшереля. Доведення цих теорем ґрунтується на властивостях ортогональності.

Зв’язок з багатовимірним перетворенням Фур’є

Перетворення Ганкеля часто зустрічається у фізичних задачах із циліндричною або сферичною симетрією при записі багатовимірного перетворення Фур’є в гіперсферичних координатах.

Розглянемо функцію $f(𝐫)$ $d$-вимірного вектора Шаблон:Math. Його $d$-вимірне перетворення Фур'є визначається як

$F(𝐤)=\underset{{ℝ}^d}{\int }f(𝐫)e^{-i𝐤\cdot 𝐫}\mathrm{d}𝐫.$

Для того, щоб переписати його в гіперсферичних координатах, можна використати розклад плоскої хвилі на $d$-вимірні гіперсферичні гармоніки $Y_{l,m}$:

$e^{-i𝐤\cdot 𝐫}=(2\pi {)}^{d/2}(kr{)}^{1-d/2}\sum _{l=0}^{+\mathrm{\infty }}(-i{)}^l{J}_{d/2-1+l}(kr)\sum _m{Y}_{l,m}({\mathrm{\Omega }}_{𝐤})Y_{l,m}^{*}({\mathrm{\Omega }}_{𝐫}),$

де ${\mathrm{\Omega }}_{𝐫}$ і ${\mathrm{\Omega }}_{𝐤}$ — набори всіх гіперсферичних кутів у $𝐫$-просторі та $𝐤$-просторі. Це дає наступне співвідношення для $d$-вимірного перетворення Фур’є в гіперсферичних координатах:

$F(𝐤)=(2\pi {)}^{d/2}{k}^{1-d/2}\sum _{l=0}^{+\mathrm{\infty }}(-i{)}^l\sum _m{Y}_{l,m}({\mathrm{\Omega }}_{𝐤})\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{J}_{d/2-1+l}(kr)r^{d/2}\mathrm{d}r\int f(𝐫)Y_{l,m}^{*}({\mathrm{\Omega }}_{𝐫})\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}_{𝐫}.$

Якщо розкласти $f(𝐫)$ і $F(𝐤)$ через гіперсферичні гармоніки:

$f(𝐫)=\sum _{l=0}^{+\mathrm{\infty }}\sum _m{f}_{l,m}(r)Y_{l,m}({\mathrm{\Omega }}_{𝐫}),F(𝐤)=\sum _{l=0}^{+\mathrm{\infty }}\sum _m{F}_{l,m}(k)Y_{l,m}({\mathrm{\Omega }}_{𝐤}),$

то перетворення Фур'є в гіперсферичних координатах спрощується до

$k^{d/2-1}{F}_{l,m}(k)=(2\pi {)}^{d/2}(-i{)}^l\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{r}^{d/2-1}{f}_{l,m}(r)J_{d/2-1+l}(kr)r\mathrm{d}r.$

Це означає, що функції з кутовою залежністю у вигляді гіперсферичної гармоніки зберігають її при багатовимірному перетворенні Фур’є, тоді як радіальна частина змінюється при перетворенні Ганкеля (з точністю до деяких додаткових множників, таких як $r^{d/2-1}$).

Часткові випадки

Перетворення Фур'є розмірності 2

Якщо двовимірну функцію Шаблон:Math розкласти в мультипольний ряд

$f(r,\theta )=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_m(r)e^{im{\theta }_{𝐫}},$

тоді його двовимірне перетворення Фур'є задається формулою

$F(𝐤)=2\pi \sum _m{i}^{-m}{e}^{im{\theta }_{𝐤}}{F}_m(k),$

де $F_m(k)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_m(r)J_m(kr)r\mathrm{d}r$ є перетворенням Ганкеля $m$-го порядку для $f_m(r)$ (у цьому випадку $m$ виконує роль кутового моменту, який було позначено як $l$ у попередньому розділі).

Перетворення Фур'є розмірності 3

Якщо тривимірну функцію Шаблон:Math розкласти в мультипольний ряд над сферичними гармоніками,

$f(r,{\theta }_{𝐫},{\phi }_{𝐫})=\sum _{l=0}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{m=-l}^{+l}{f}_{l,m}(r)Y_{l,m}({\theta }_{𝐫},{\phi }_{𝐫}),$

тоді його тривимірне перетворення Фур'є задається формулою

$F(k,{\theta }_{𝐤},{\phi }_{𝐤})=(2\pi {)}^{3/2}\sum _{l=0}^{+\mathrm{\infty }}(-i{)}^l\sum _{m=-l}^{+l}{F}_{l,m}(k)Y_{l,m}({\theta }_{𝐤},{\phi }_{𝐤}),$

де $\sqrt{k}{F}_{l,m}(k)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\sqrt{r}{f}_{l,m}(r)J_{l+1/2}(kr)r\mathrm{d}r.$⁣ — це перетворення Ганкеля для $\sqrt{r}{f}_{l,m}(r)$ порядку $(l+1/2)$.

Цей вид перетворення Ганкеля напівцілого порядку також відомий як сферичне перетворення Бесселя.

Перетворення Фур'є розмірності Шаблон:Math (випадок радіальної симетрії)

Якщо Шаблон:Math-вимірна функція Шаблон:Math не залежить від кутових координат, то її Шаблон:Math-вимірне перетворення Фур'є Шаблон:Math також не залежить від кутових координат і визначається як

$k^{d/2-1}F(k)=(2\pi {)}^{d/2}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{r}^{d/2-1}f(r)J_{d/2-1}(kr)r\mathrm{d}r,$

що є перетворенням Ганкеля $r^{d/2-1}f(r)$ порядку $(d/2-1)$ до множника $(2\pi {)}^{d/2}$.

Двовимірні функції всередині обмеженого радіуса

Якщо двовимірну функцію Шаблон:Math розширити в мультипольний ряд, а коефіцієнти розкладу Шаблон:Math досить гладкі поблизу початку координат і дорівнюють нулю поза радіусом Шаблон:Mvar, радіальну частину Шаблон:Math можна розкласти до степеневого ряду за $1-{\left(\frac{r}{R}\right)}^2$:

$f_m(r)=r^m\sum _{t\ge 0}{f}_{m,t}{(1-{\left(\frac{r}{R}\right)}^2)}^t,0\le r\le R,$

то двовимірне перетворення Фур'є функції Шаблон:Math має вигляд

$\begin{array}{cccc}F(𝐤)& =2\pi \sum _m{i}^{-m}{e}^{im{\theta }_k}\sum _t{f}_{m,t}\underset{0}{\overset{R}{\int }}{r}^m{(1-{\left(\frac{r}{R}\right)}^2)}^t{J}_m(kr)r\mathrm{d}r& & \\ & =2\pi \sum _m{i}^{-m}{e}^{im{\theta }_k}{R}^{m+2}\sum _t{f}_{m,t}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{m+1}(1-x^2{)}^t{J}_m(kxR)\mathrm{d}x& & (x=\frac{r}{R})\\ & =2\pi \sum _m{i}^{-m}{e}^{im{\theta }_k}{R}^{m+2}\sum _t{f}_{m,t}\frac{t!2^t}{(kR{)}^{1+t}}{J}_{m+t+1}(kR),\end{array}$

де остання рівність випливає з §6.567.1. Коефіцієнти розкладу Шаблон:Math визначаються за допомогою дискретних перетворень Фур'є: якщо радіальна відстань масштабується як

$r/R\equiv \sin \theta ,1-(r/R{)}^2={\cos }^2\theta ,$

то коефіцієнти ряду Фур’є–Чебишева Шаблон:Math виглядають як

$f(r)\equiv r^m\sum _j{g}_{m,j}\cos (j\theta )=r^m\sum _j{g}_{m,j}{T}_j(\cos \theta ).$

Використання додаткового розкладу в ряд

$\cos (j\theta )=2^{j-1}{\cos }^j\theta -\frac{j}{1}{2}^{j-3}{\cos }^{j-2}\theta +\frac{j}{2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{j-3}{1})2^{j-5}{\cos }^{j-4}\theta -\frac{j}{3}(\genfrac{}{}{0ex}{}{j-4}{2})2^{j-7}{\cos }^{j-6}\theta +\cdots$

приводить до представлення Шаблон:Math через суми Шаблон:Math.

Це один із різновидів методів швидкого перетворення Ганкеля.

Зв’язок з перетвореннями Фур’є та Абеля

Перетворення Ганкеля є одним із членів циклу Фур’є-Ганкеля-Абеля інтегральних операторів. У розмірності два, якщо визначити Шаблон:Mvar як оператор інтегрального перетворення Абеля, Шаблон:Mvar як оператор перетворення Фур'є, а Шаблон:Mvar як оператор перетворення Ганкеля нульового порядку, то частинний випадок теореми про проєкційний зріз для циклічно-симетричних функцій стверджує, що

$FA=H.$

Іншими словами, застосування перетворення Абеля до одновимірної функції, а потім застосування перетворення Фур’є до цього результату — це те саме, що застосування перетворення Ганкеля до цієї функції. Цей підхід можна розширити на вищі розмірності.

Чисельне оцінювання

Простий та ефективний підхід до чисельної оцінки перетворення Ганкеля базується на спостереженні, що воно може бути представлено у вигляді згортки за допомогою логарифмічної заміни змінних

$r=r_0{e}^{-\rho },k=k_0{e}^{\kappa }.$

У цих нових змінних перетворення Ганкеля набуває вигляду

${\tilde{F}}_{\nu }(\kappa )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\tilde{f}(\rho ){\tilde{J}}_{\nu }(\kappa -\rho )\mathrm{d}\rho ,$де$\tilde{f}(\rho )=(r_0{e}^{-\rho }{)}^{1-n}f(r_0{e}^{-\rho }),{\tilde{F}}_{\nu }(\kappa )=(k_0{e}^{\kappa }{)}^{1+n}{F}_{\nu }(k_0{e}^{\kappa }),{\tilde{J}}_{\nu }(\kappa -\rho )=(k_0{r}_0{e}^{\kappa -\rho }{)}^{1+n}{J}_{\nu }(k_0{r}_0{e}^{\kappa -\rho }).$

Тепер інтеграл можна обчислити чисельно зі складністю $O(N\log N)$ при використанні швидкого перетворення Фур'є. Алгоритм можна додатково спростити, використовуючи відомий аналітичний вираз для перетворення Фур'є ${\tilde{J}}_{\nu }$:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\tilde{J}}_{\nu }(x)e^{-iqx}\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu +1+n-iq}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu +1-n+iq}{2}\right)}{2}^{n-iq}{e}^{iq\ln (k_0{r}_0)}.$

Оптимальний вибір параметрів $r_0,k_0,n$ залежить від властивостей функції $f(r)$, зокрема, від її асимптотичної поведінки при $r\to 0$ і $r\to \mathrm{\infty }$.

Цей алгоритм відомий як “квазішвидке перетворення Ганкеля”, або просто “швидке перетворення Ганкеля”.

Оскільки алгоритм базується на швидкому перетворенні Фур'є в логарифмічних змінних, функція $f(r)$ має бути визначена на логарифмічній сітці. Для функцій, визначених на однорідній сітці, існує ряд інших алгоритмів, включаючи безпосередню квадратуру, методи, що базуються на теоремі про проєкційний зріз, та методи, що використовують асимптотичні розклади функцій Бесселя.

Перетворення Ганкеля для деяких функцій

$f(r)$	$F_0(k)$
$1$	$\frac{\delta (k)}{k}$
$\frac{1}{r}$	$\frac{1}{k}$
$r$	$-\frac{1}{k^3}$
$r^3$	$\frac{9}{k^5}$
$r^m$	$\frac{2^{m+1}\mathrm{\Gamma }(\frac{m}{2}+1)}{k^{m+2}\mathrm{\Gamma }(-\frac{m}{2})},-2<\mathrm{\Re }(m)<-\frac{1}{2}$
$\frac{1}{\sqrt{r^2+z^2}}$	$\frac{e^{-k|z|}}{k}$
$\frac{1}{z^2+r^2}$	$K_0(kz),z\in 𝐂$
$\frac{e^{iar}}{r}$	$\frac{i}{\sqrt{a^2-k^2}},a>0,k<a$
	$\frac{1}{\sqrt{k^2-a^2}},a>0,k>a$
$e^{-\frac{1}{2}{a}^2{r}^2}$	$\frac{1}{a^2}{e}^{-\frac{k^2}{2a^2}}$
$\frac{1}{r}{J}_0(lr)e^{-sr}$	$\frac{2}{\pi \sqrt{(k+l{)}^2+s^2}}K\left(\sqrt{\frac{4kl}{(k+l{)}^2+s^2}}\right)$
$-r^{2}f(r)$	$\frac{{\mathrm{d}}^2{F}_0}{\mathrm{d}{k}^2}+\frac{1}{k}\frac{\mathrm{d}{F}_0}{\mathrm{d}k}$

$f(r)$	$F_{\nu }(k)$
$r^s$	$\frac{2^{s+1}}{k^{s+2}}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(2+\nu +s))}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(\nu -s))}$
$r^{\nu -2s}\mathrm{\Gamma }(s,r^{2}h)$	$\frac{1}{2}{\left(\frac{k}{2}\right)}^{2s-\nu -2}\gamma (1-s+\nu ,\frac{k^2}{4h})$
$e^{-r^2}{r}^{\nu }U(a,b,r^2)$	$\frac{\mathrm{\Gamma }(2+\nu -b)}{2\mathrm{\Gamma }(2+\nu -b+a)}{\left(\frac{k}{2}\right)}^{\nu }{e}^{-\frac{k^2}{4}}{}_1{F}_1(a,2+a-b+\nu ,\frac{k^2}{4})$
$r^n{J}_{\mu }(lr)e^{-sr}$	Виражається через еліптичні інтеграли.
$-r^{2}f(r)$	$\frac{{\mathrm{d}}^2{F}_{\nu }}{\mathrm{d}{k}^2}+\frac{1}{k}\frac{\mathrm{d}{F}_{\nu }}{\mathrm{d}k}-\frac{{\nu }^2}{k^2}{F}_{\nu }$

$K_n(z)$ — це модифікована функція Бесселя другого роду. $K(z)$ — повний еліптичний інтеграл першого роду.

Вираз

$\frac{{\mathrm{d}}^2{F}_0}{\mathrm{d}{k}^2}+\frac{1}{k}\frac{\mathrm{d}{F}_0}{\mathrm{d}k}$

співпадає з оператором Лапласа в полярних координатах $(k,\theta )$, який застосовано до сферично-симетричної функції $F_0(k)$.

Перетворення Ганкеля для поліномів Церніке є по суті функціями Бесселя (Noll 1976):

$R_n^m(r)=(-1{)}^{\frac{n-m}{2}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{J}_{n+1}(k)J_m(kr)\mathrm{d}k$

для парної різниці Шаблон:Math.

Див. також

• Перетворення Фур'є
• Інтегральне перетворення
• Інтегральне перетворення Абеля
• Шаблон:Нп
• Шаблон:Нп
• Шаблон:Нп