Очікувана величина вимірювання (квантова механіка)

Очі́кувана величина́ вимірювання — очікуване ймовірнісне значення результату експерименту з вимірювання в квантовій механіці. Можна розглядати як середнє значення всіх можливих результатів вимірювання, зважене за їх імовірністю, і, як таке, воно не є «найбільш» імовірним значенням вимірювання; дійсно, очікуване значення може мати нульову ймовірність виникнення (наприклад, вимірювання, які можуть давати тільки цілі значення, можуть мати нецілочисельне середнє значення). Є фундаментальним поняттям у всіх галузях квантової фізики.

Популярне визначення

Розглянемо оператор $A$. Тоді очікувана величина дорівнює: $⟨A⟩=⟨\psi |A|\psi ⟩$ в позначеннях Дірака, де $|\psi ⟩$ Шаблон:Не перекладено вектор стану.

Математичний апарат

У квантовій теорії початкові умови експерименту з вимірювання описуються спостережуваною $A$, що підлягає вимірюванню, та станом $\sigma$ системи. Очікувану величину $A$ в стані $\sigma$ позначають як $⟨A{⟩}_{\sigma }$. Математично, $A$ є Шаблон:Не перекладено у гільбертовому просторі.

У найчастіше використовуваному випадку квантової механіки, $\sigma$ є чистим станом, що описується нормалізованим векторомШаблон:Efn $\psi$ у гільбертовому просторі. Очікувану величину вимірювання $A$ в стані $\psi$ визначено як:Шаблон:NumBlkЯкщо розглядається динаміка, то приймається, що вектор $\psi$, або оператор $A$ залежить від часу, залежно від цього, використовується картина Шредінгера або картина Гейзенберга. Однак еволюція очікуваного значення залежить від цього вибору.

Якщо $A$ має повний набір власних векторів ${\varphi }_j$, із власними значеннями $a_j$, то (1) можна виразии якШаблон:NumBlkЦей вираз схожий на середнє арифметичне та ілюструє фізичний зміст математичного формалізму: власні значення $a_j$ є можливими результатами експерименту з вимірювання,Шаблон:Efn та відповідний їм коефіцієнт $|⟨\psi |{\varphi }_j⟩{|}^2$ — це ймовірність того, що цей результат буде отримано; його часто називають ймовірністю переходу.

Особливо простий випадок виникає, коли $A$ є проєкцією і, отже, має лише власні значення 0 і 1. Це фізично відповідає типу експерименту «так-ні». У цьому випадку очікуване значення — це ймовірність того, що експеримент приведе до «1», і його можна обчислити якШаблон:NumBlkУ квантовій теорії оператор також може мати недискретний спектр, такий як оператор координати $X$ у квантовій механіці. Цей оператор має повністю Шаблон:Не перекладено, зі власними значеннями та власними векторами, що залежать від неперервного параметра $x$. Зокрема, оператор $X$ діє на просторовий вектор $|x⟩$ як $X|x⟩=x|x⟩$.

У цьому випадку вектор $\psi$ можна записати як комплекснозначну функцію $\psi (x)$ на спектрі $X$ (зазвичай реальна лінія). Формально це досягається проєктуванням вектора стану $|\psi ⟩$ на власні значення оператора, як у дискретному випадку $\psi (x)\equiv ⟨x|\psi ⟩$. Трапляється, що власні вектори позиційного оператора утворюють повний базис для векторного простору станів і, отже, підпорядковуються рівнянню замикання:$$\int |x⟩⟨x|dx\equiv 𝕀$$Викладене вище можна використати для отримання загального інтегрального виразу для очікуваного значення (4) шляхом вставлення ідентифікаторів у векторний вираз очікуваного значення, а потім розширення на основі позиції:$$\begin{array}{cc}⟨X{⟩}_{\psi }& =⟨\psi |X|\psi ⟩=⟨\psi |𝕀X𝕀|\psi ⟩=\iint ⟨\psi |x⟩⟨x|X|x^{\prime }⟩⟨x^{\prime }|\psi ⟩dxd{x}^{\prime }\\ & =\iint ⟨x|\psi {⟩}^{*}{x}^{\prime }⟨x|x^{\prime }⟩⟨x^{\prime }|\psi ⟩dxd{x}^{\prime }=\iint ⟨x|\psi {⟩}^{*}{x}^{\prime }\delta (x-x^{\prime })⟨x^{\prime }|\psi ⟩dxd{x}^{\prime }\\ & =\int \psi (x{)}^{*}x\psi (x)dx=\int x\psi (x{)}^{*}\psi (x)dx=\int x|\psi (x){|}^{2}dx\end{array}$$Де Шаблон:Не перекладено базисних векторів координат $⟨x|x^{\prime }⟩=\delta (x-x^{\prime })$ зменшує подвійний інтеграл до одного інтеграла. В останньому рядку використовується модуль комплексної функції для заміни ${\psi }^{*}\psi$ на $|\psi {|}^2$, що є звичайною заміною в квантово-механічних інтегралах.

Потім можна вказати очікуване значення, де $x$ необмежене, у вигляді формули:Шаблон:NumBlkАналогічна формула справедлива для оператора імпульсу $P$ у системах, де він має неперервний спектр.

Усі наведені вище формули дійсні лише чистих станів $\sigma$. Важливими в термодинаміці та квантовій оптиці також є «змішані стани»; вони описуються додатним оператором Шаблон:Не перекладено

$\rho =\sum _i{\rho }_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$,

«статистичний оператор» або «матриця густини». Потім очікуване значення можна отримати якШаблон:NumBlk

Загальне формулювання

У загальному випадку квантові стани $\sigma$ описують додатними нормалізованими лінійними функціоналами на множині спостережуваних, які математично часто приймають за C*-алгебру. Очікуване значення $A$ дається якШаблон:NumBlkЯкщо алгебра спостережуваних діє незвідно в гільбертовому просторі, і якщо $\sigma$ є «нормальним функціоналом», тобто неперервним у Шаблон:Не перекладено, то її можна записати як$$\sigma (\cdot )=\mathrm{Trace}(\rho \cdot )$$з додатним оператором Шаблон:Не перекладено $\rho$ сліду 1. Це дає формулу (5) вище. У разі чистого стану $\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$ — це проєкція на одиничний вектор $\psi$. Тоді $\sigma =⟨\psi |\cdot \psi ⟩$ дає формулу (1) вище.

Припускається, що $A$ — самоспряжений оператор. У загальному випадку його спектр не буде ні повністю дискретним, ні повністю неперервним. Тим не менш, можна написати $A$ в спектральному розкладі,$$A=\int adP(a)$$за допомогою вимірюваної проєктором величини $P$. Для очікуваного значення $A$ в чистому стані $\sigma =⟨\psi |\cdot \psi ⟩$, це означає$$⟨A{⟩}_{\sigma }=\int ad⟨\psi |P(a)\psi ⟩,$$який можна розглядати як узагальнення наведених вище формул (2) та (4).

У нерелятивістських теоріях скінченного числа частинок (нерелятивістська квантова механіка) аналізовані стани, як правило, є нормальними. Однак у інших галузях квантової теорії використовують також ненормальні стани: вони з'являються, наприклад, у вигляді Шаблон:Не перекладено у квантовій статистичній механіці нескінченно протяжних середовищ, і як заряджені стани в квантовій теорії поля.

У таких випадках очікуване значення визначають лише загальною формулою (6).

Приклад у конфігураційному просторі

Як приклад розглянемо квантово-механічну частинку в одному просторовому вимірі у поданні конфігураційного простору. Тут гільбертовим простором $\mathscr{H}=L^2(ℝ)$ є простір квадратично інтегрованих функцій на дійсній прямій. Вектори $\psi \in \mathscr{H}$ представлені функціями $\psi (x)$, які називають хвильовими функціями. Скалярний добуток задється $⟨{\psi }_1|{\psi }_2⟩=\int {\psi }_1^{\ast }(x){\psi }_2(x)dx$. Хвильові функції мають пряму інтерпретацію як розподіл імовірностей:$$p(x)dx={\psi }^{*}(x)\psi (x)dx$$дає ймовірність перебування частинки в нескінченно малому інтервалі довжини $dx$ у якійсь точці $x$. Як спостережуване розглянемо оператор координати $Q$, що діє на хвильові функції $\psi$ як$$(Q\psi )(x)=x\psi (x).$$Очікуване значення чи середнє значення вимірювань $Q$, виконаних на дуже великій кількості «ідентичних» незалежних систем, буде подано як$$⟨Q{⟩}_{\psi }=⟨\psi |Q|\psi ⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\psi }^{\ast }(x)x\psi (x)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xp(x)dx.$$Очікуване значення існує тільки в тому випадку, якщо інтеграл збігається, що не стосується всіх векторів $\psi$. Це пов'язано з тим, що оператор координати Шаблон:Не перекладено, і $\psi$ пот рібно вибрати з його області визначення.

У загальному випадку очікування будь-якого спостережуваного можна розрахувати замінивши $Q$ відповідним оператором. Наприклад, для обчислення середнього імпульсу використовують оператор імпульсу «в конфігураційному просторі», $P=-i\hslash \frac{d}{dx}$. Очевидно, його очікуване значення дорівнює$$⟨P{⟩}_{\psi }=-i\hslash \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\psi }^{\ast }(x)\frac{d\psi (x)}{dx}dx.$$Загалом, не всі оператори описують вимірні́ фізичні величини. Оператор, що має чисто дійсне очікуване значення, називають спостережуваним і його значення можна безпосередньо виміряти в експерименті.

Див. також

• Відношення Релея
• Принцип невизначеності
• Теорема віріалу

Література

• Шаблон:Cite book