Ортогональне доповнення

Ортогональне доповнення підпростору — в лінійній алгебрі та функціональному аналізі, множина векторів простору (в якому визначений скалярний добуток, тобто, це є передгільбертів простір) які є ортогональними до всіх векторів заданого підпростору:

$W^{\mathrm{\perp }}=\{x\in V:⟨x,y⟩=0,\mathrm{\forall }y\in W\}.$

Властивості

• Ортогональне доповнення є замкнутою множиною.

• В скінченномірному випадку всі лінійні підпростори є замкнутими, тобто $\bar{W}=W,$ тому:

$W^{\mathrm{\perp }\mathrm{\perp }}=W.$

• В нескінченномірному гільбертовому просторі підпростори можуть бути незамкненими, але їх ортогональні доповнення є замкненими:

$W^{\mathrm{\perp }\mathrm{\perp }}=\bar{W}.$

• В скінченномірному випадку сума розмірностей лінійного підпростору і його ортогонального доповнення рівна розмірності простору:

$\dim W+\dim W^{\mathrm{\perp }}=\dim V.$

Дивись також

• Ядро та образ лінійного оператора

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра