Ознаки збіжності

Шаблон:Числення Ознаки збіжності рядів — ознаки, що доводять або спростовують збіжність числового ряду. Нехай дано ряд

$U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+\dots +U_n+\cdots .(1)$

Частковими сумами цього ряду будуть:

$S_1=U_1,S_2=U_1+U_2,S_3=U_1+U_2+U_3,\dots ,S_n=U_1+U_2+\dots +U_n.$

Ряд (1) є збіжним, якщо існує скінченна границя послідовності його часткових сум, тобто

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=S.$

Число $S$ є сумою ряду, отже:

$U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+\dots +U_n+\dots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{U}_n=S.$

Коли ж границя часткових сум не існує або дорівнює нескінченності, то ряд є розбіжним.

Класифікація ознак збіжності

Ознаки збіжності рядів поділяються на необхідні й достатні.

Необхідна умова збіжності означає:

• якщо вона виконується, то ряд може бути або збіжним або розбіжним,
• якщо вона не виконується, то ряд є розбіжним.

Можна сказати, що необхідна умова збіжності ряду є достатньою умовою його розбіжності.

Достатня умова збіжності означає:

• якщо вона виконується, то ряд є збіжним,
• якщо вона не виконується, то ряд може бути або збіжним або розбіжним.

У залежності від того, збіжність яких рядів доводиться, ознаки поділяються на ознаки збіжності для знакододатних рядів, знакопереміжних рядів, функціональних рядів, рядів Фур'є.

Список ознак

Необхідна умова збіжності

Шаблон:Main Якщо границя послідовності утвореної членами ряду є невизначеною або відмінною від нуля, так що $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n\ne 0$, то ряд є розбіжним. У цьому сенсі, часткові суми ряду утворюють фундаментальну послідовність лише тоді , коли ця границя існує та рівна нулю. Ця ознака не є достатньою: про збіжність або розбіжність ряду не можна стверджувати на основі цієї ознаки, якщо граничне значення члену ряду рівне нулю.

Критерій збіжності

Шаблон:Main Додатній ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ збігається тоді й лише тоді, коли послідовність його часткових сум $S(n)=\sum _{k=1}^n{a}_k$ обмежена зверху.

Ознаки порівняння

Шаблон:Main Якщо ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ є абсолютно збіжним та $|a_n|\le |b_n|$ для достатньо великих $n$, то ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ є абсолютно збіжним.

Шаблон:Main Якщо $\{a_n\},\{b_n\}>0$ (тобто всі елементи обох послідовностей додатні) та границя $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to \mathrm{\infty }}\frac{a_n}{b_n}$ існує, є скінченною та відмінною від нуля, тоді ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ є розбіжним тоді й лише тоді, коли ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ є розбіжним.

Ознака д'Аламбера

Шаблон:Main Припустимо, що існує таке $r$, що $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r.$

Якщо $r<1$, то ряд є абсолютно збіжним. Якщо $r>1$, то ряд є розбіжним. Якщо $r=1$, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним.

Радикальна ознака Коші

Шаблон:Main Нехай $r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|a_n|},$ де $\mathrm{lim\; sup}$ позначає верхню границю послідовності (можливо $\mathrm{\infty }$; якщо границя існує, то вона має таке ж значення).

Якщо $r<1$, то ряд є збіжним. Якщо $r>1$, то ряд є розбіжним. Якщо $r=1$, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. Радикальна ознака є більш сильною ніж ознака д'Аламбера: якщо збіжність (розбіжність) доведена на основі ознаки д'Аламбера то вона завжди може бути доведена і на основі радикальної ознаки Коші , але не навпаки. Наприклад, ряд $1+1+0,5+0,5+0,25+0,25+0,125+0,125+\cdots =4$ є збіжним за радикальною ознакою, але за ознакою д'Аламбера про збіжність (розбіжність) цього ряду стверджувати не можна.

Інтегральна ознака Маклорена — Коші

Шаблон:Main Ряд можна порівнювати із інтегралом, для того, щоб визначити збіжність або розбіжність. Нехай $f:[1,\mathrm{\infty })\to {ℝ}_{+}$ невід'ємна та монотонно-спадна функція, така що $f(n)=a_n$. Якщо $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{t}{\int }}f(x)\mathrm{d}x<\mathrm{\infty },$ то ряд є збіжним. Але якщо інтеграл є розбіжним, то ряд також є розбіжним. Іншими словами, ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ є збіжним тоді і лише тоді, коли відповідний невласний інтеграл є збіжним.

Ознака збіжності узагальнених гармонічних рядів

Шаблон:Main Загальновживаним наслідком інтегральної ознаки є ознака збіжності для узагальненого гармонічного ряду. Нехай $k>0$. Тоді $\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{1}{n^p}\right)$ збігається, якщо $p>1$. При $p=1$, $k=1$ отримуємо гармонічний ряд, який є розбіжним. При $p=2$, $k=1$ отримуємо ряд обернених квадратів (задача Базеля) і цей ряд є збіжним до $\frac{{\pi }^2}{6}$. У загальному випадку, для $p>1$, $k=1$ ряд співпадає з дзета-функцією Рімана від $p$, тобто $\zeta (p)$.

Ознака стиснення Коші

Шаблон:Main Нехай $\{a_n\}$ є незростаючою послідовністю. Тоді сума $A=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ збігається тоді і лише тоді, коли сума $A^{*}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^n{a}_{2^n}$ збігається. Більше того, якщо вони збігаються, то справедлива нерівність $A\le A^{*}\le 2A$.

Ознака Абеля

Шаблон:Main Нехай справедливі наступні твердження:

• $\sum a_n$ – збіжний ряд,
• $\{b_n\}$ є монотонною послідовністю та
• $\{b_n\}$ є обмеженою.

Тоді ряд $\sum a_n{b}_n$ також є збіжним.

Ознака абсолютної збіжності

Будь-який абсолютно збіжний ряд є збіжним.

Ознака Лейбніца

Шаблон:Main Припустимо, що справедливі наступні твердження:

• $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n=0$ та
• для будь-якого $n$, $a_{n+1}\le a_n$.

Тоді ряди $\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n$ та $\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}{a}_n$ є збіжними.

Ознака Діріхле

Шаблон:Main Якщо $\{a_n\}$ послідовність дійсних чисел та $\{b_n\}$ послідовність комплексних чисел, які задовольняють такі умови:

• $a_n\ge a_{n+1}$,
• $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n=0$,
• $\left|\sum _{n=1}^N{b}_n\right|\le M$, для всякого натурального $N$,

де $M$ – деяка стала, тоді ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$ є збіжним.

Ознака Раабе–Дюамеля

Шаблон:Main Нехай $a_n>0$. Визначимо $b_n$ як $b_n=n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}-1}\right),$ якщо $L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n$ існує, то можливі такі варіанти:

• $L>1$ — ряд є збіжним,
• $L<1$ — ряд є розбіжним,
• $L=1$ — за ознакою не можна стверджувати про збіжність (розбіжність) ряду.

Існує альтернативне формулювання цієї ознаки. Нехай $\{a_n\}$ - послідовність дійсних чисел. Тоді, якщо існують такі $b>1$ та $K$ (натуральне число), що

$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le 1-\frac{b}{n}$, для всіх $n>K,$

то ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ є збіжним.

Ознака Бертрана

Шаблон:Main Нехай $\{a_n\}$ послідовність додатних чисел. Визначимо $b_n$ як

$b_n=\ln n(n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)-1).$

Якщо

$L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n$

існує, то можливі такі випадки:

• $L>1$ — ряд є збіжним,
• $L<1$ — ряд є розбіжним,
• $L=1$ — за ознакою не можна стверджувати про збіжність (розбіжність) ряду.

Ознака Гауса

Шаблон:Main Нехай $\{a_n\}$ послідовність додатних чисел. Якщо $\frac{a_n}{a_{n+1}}=1+\frac{\alpha }{n}+𝒪\left(\frac{1}{n^{\beta }}\right),$ для певного $\beta >1$, то ряд $\sum a_n$ є збіжним, якщо $\alpha >1$, і є розбіжним, якщо $\alpha \le 1$.

Ознака Куммера

Нехай { a_n } - послідовність додатніх чисел. Тоді:

(1) $\sum a_n$ є збіжним тоді і тільки тоді коли існує послідовність $b_n$ додатніх чисел і дійсне число c > 0 таке що $b_k(a_k/a_{k+1})-b_{k+1}\ge c$.

(2) $\sum a_n$ є розбіжним тоді і тільки тоді коли існує послідовність $b_n$ додатніх чисел таких що $b_k(a_k/a_{k+1})-b_{k+1}\le 0$

і $\sum 1/b_n$ розбігається.

Примітки

• Для деяких особливих типів рядів є більш спеціалізовані ознаки. Наприклад, для рядів Фур'є існує ознака Діні.

Приклади

Розглянемо ряд Шаблон:NumBlk З ознаки стиснення Коші випливає, що (Шаблон:EquationNote) є скінченно збіжним, якщо Шаблон:NumBlk є скінченно збіжним. Оскільки

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^n{\left(\frac{1}{2^n}\right)}^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n-na}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{(1-a)n},$

то (Шаблон:EquationNote) є геометричним рядом зі знаменником $2^{(1-\alpha )}$. (Шаблон:EquationNote) є скінченно збіжним, коли знаменник геометричного ряду менший від одиниці (а саме, коли $\alpha >1$). Отже, (Шаблон:EquationNote) є скінченно збіжним тоді і лише тоді, коли $\alpha >1$.

Збіжність добутків

Хоча більшість ознак визначають збіжність (розбіжність) нескінченних рядів, вони також можуть бути застосовані для визначення збіжності чи розбіжності нескінченних добутків. Цього можна досягти шляхом застосування наступної теореми: нехай $\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ послідовність додатних чисел. Тоді нескінченний добуток

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+a_n)$ є збіжним тоді і лише тоді, коли ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\text{є збіжним.}$ Аналогічно, якщо виконується умова $0<a_n<1$, то $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-a_n)$ прямує до відмінної від нуля границі тоді і лише тоді, коли ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ є збіжним. Це може бути доведено за допомогою логарифмування добутку та застосування ознаки граничного порівняння.

Див. також

• Числовий ряд
• Абсолютна збіжність
• Правило Лопіталя
• Шаблон:Нп

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Wachsmuth, Bert G. «MathCS.org — Real Analysis: Ratio Test»[1]. www.mathcs.org.
• František Ďuriš, Infinite series: Convergence tests, pp. 24–9. Bachelor's thesis
• Шаблон:MathWorld
• «Gauss criterion»[2], «Encyclopedia of Mathematics», «EMS Press», 2001 [1994]
• Belk, Jim (26 January 2008)."Convergence of Infinite Products"[3]
• Шаблон:Cite book

Посилання

• Вища математика, О. І. Оглобліна, Л. І. Брацихіна
• Flowchart for choosing convergence test