Ознака Діні

У математиці ознаки Діні та Діні–Ліпшіца є високоточними, вони використовуються для доведення збіжності ряду Фур’є в заданій точці. Ознаки названі на честь Уліса Діні та Рудольфа Ліпшіца.

Означення

Нехай $f$ — функція, що задана на відрізку $[0,2\pi ]$, $t$ — деяка точка та $\delta$ — додатне число. Визначимо локальний модуль неперервності в точці $t$ як

${\omega }_f(\delta ;t)=\underset{|\epsilon |\le \delta }{\max }|f(t)-f(t+\epsilon )|.$

Зауважимо, що $f$ розглядається як періодична функція; наприклад, якщо $t=0$ i $\epsilon <0$, тоді вважаємо, що $f(\epsilon )=f(2\pi +\epsilon )$.

Глобальний модуль неперервності (або просто Шаблон:Нп) визначається як

${\omega }_f(\delta )=\underset{t}{\max }{\omega }_f(\delta ;t).$

За допомогою цих визначень можемо сформулювати основний результат:

Теорема (ознака Діні): Нехай у точці $t$ функція $f$ задовольняє умову

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{1}{\delta }{\omega }_f(\delta ;t)\mathrm{d}\delta <\mathrm{\infty }.$

Тоді ряд Фур’є функції $f$ у точці $t$ збігається до функції $f(t)$

Наприклад, теорема справедлива при ${\omega }_f={\log }^{-2}\left(\frac{1}{\delta }\right)$, але несправедлива при ${\omega }_f={\log }^{-1}\left(\frac{1}{\delta }\right)$.

Теорема (ознака Діні–Ліпшіца): Нехай функція $f$ задовольняє умову

${\omega }_f(\delta )=o{(\log \frac{1}{\delta })}^{-1}.$

Тоді ряд Фур’є функції $f$ рівномірно збігається до $f$.

Зокрема, будь-яка функція з класу Гельдера задовольняє ознаку Діні–Ліпшіца.

Точність

Обидві ознаки є найкращими у своєму роді. Для ознаки Діні–Ліпшіца можна побудувати функцію з модулем неперервності, що задовольняє ознаку з точністю асимптотичної оцінки $O$ замість $o$, тобто

${\omega }_f(\delta )=O{(\log \frac{1}{\delta })}^{-1},$

i ряд Фур’є функції $f$ розходиться. Для ознаки Діні, твердження щодо точності є трошки довшим: для будь-якої функції $\delta$ такої, що

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{1}{\delta }\mathrm{\Omega }(\delta )\mathrm{d}\delta =\mathrm{\infty }$

існує така функція $f$, що

${\omega }_f(\delta ;0)<\mathrm{\Omega }(\delta ),$

i ряд Фур’є функції $f$ розходиться у точці $0$.

Модифікована ознака Діні

Справедлива також модифікація ознаки Діні на випадок, коли функція $f$ має розрив у точці $t$, але тим не менш, її звуження на проміжках $(t-\epsilon ,t)$ та $(t,t+\epsilon )$ можуть бути продовженими до функції, що задовольняють ознаку Діні.

Нехай $f_{+}$, $f_{-}$ — деякі числа. Покладемо для $\delta >0$

${\omega }_{f,f_{+}}^{+}(t,\delta ):=\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{s\in (t,t+\delta )}|f(s)-f_{+}|,$

${\omega }_{f,f_{-}}^{-}(t,\delta ):=\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{s\in (t-\delta ,t)}|f(s)-f_{-}|.$

Якщо числа $f_{+}$, $f_{-}$ та функція $f$ такі, що

$\begin{array}{cc}& \underset{0+}{\int }\mathrm{\backslash limits}\frac{{\omega }_{f,f_{+}}^{+}(t,\delta )d\delta }{\delta }<+\mathrm{\infty },\\ & \underset{0+}{\int }\mathrm{\backslash limits}\frac{{\omega }_{f,f_{-}}^{-}(t,\delta )d\delta }{\delta }<+\mathrm{\infty },\end{array}$

то ряд Фур’є функції $f$ у точці $t$ збігається до $\frac{f_{+}+f_{-}}{2}$.

Приклад застосування ознаки Діні: сума обернених квадратів

Розглянемо періодичне продовження функції $x^2$ з проміжку $[-\pi ,\pi )$:

$f(x)={\left(\pi \left\{\frac{x}{\pi }\right\}\right)}^2,$

де фігурні дужки позначають дробову частину числа. Нескладно знайти розклад цієї функції в ряд Фур’є:

$f(x)\sim \frac{{\pi }^2}{3}+4\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^2}\cos nx.$

Підставляючи $x=0$ та $x=\pi$, i користуючись для обґрунтування точкової збіжності відповідно звичайною та модифікованою ознакою Діні, отримаємо наступні рівності:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{12}$

та

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}.$

Див. також

• Збіжність ряду Фур’є
• Шаблон:Iw
• Критерій Діні
• Критерій Коші
• Радикальна ознака Коші
• Інтегральна ознака Маклорена — Коші
• Ознака Д’Аламбера
• Телескопічна ознака
• Знакопереміжний ряд
• Ознака Веєрштраса

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр