Область цілісності

Шаблон:Алгебричні структури Область цілісності  — поняття абстрактної алгебри: комутативне кільце з одиницею, в якому $0=1$ і добуток двох ненульових елементів не рівний нулю. Умова $0=1$ виключає з розгляду тривіальне кільце $\{0\}$.

Еквівалентне визначення: область цілісності — комутативне кільце, в якому нульовий ідеал $\{0\}$ є простим.

Приклади

• Простий приклад області цілісності — кільце цілих чисел $\mathbb{Z}$.
• Будь-яке поле є областю цілісності. З іншого боку, будь-яка артінова область цілісності є полем. Зокрема, всі скінченні області цілісності є скінченними полями.
• Кільце многочленів з коефіцієнтами з деякого цілісного кільця також є цілісним. Наприклад, цілісними будуть кільце $\mathbb{Z}[x]$ многочленів однієї змінної з цілочисловими коефіцієнтами і кільце $ℝ[x,y]$ многочленів двох змінних з дійсними коефіцієнтами.
• Множина дійсних чисел виду $a+b\sqrt{2}$ є підкільцем поля $ℝ$, і, відповідно, областю цілісності. Те ж саме можна сказати про множину комплексних чисел виду $a+bi$, де $a$ і $b$ цілі.
• Нехай $U$ — зв'язна відкрита підмножина комплексної площини $ℂ$. Тоді кільце $H(U)$ всіх голоморфних функцій $f:U\to ℂ$ буде цілісним. Те ж саме вірно для будь-якого кільця аналітичних функцій, визначених на зв'язній підмножині аналітичного многовиду.
• Якщо $K$ — комутативне кільце, а $I$ — ідеал в $K$, то фактор-кільце $K/I$ цілісне тоді і тільки тоді, коли $I$ — простий ідеал.
• Кільце p-адичних цілих чисел.
• Фактор-кільце $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ де m є складеним числом не є областю цілісності. Дійсно, вибравши розклад числа $m=xy$ (де $x$ і $y$ не є рівними $1$ чи $m$). Тоді $x\equiv ̸0modm$ і $y\equiv ̸0modm$, але $xy\equiv 0modm$.
• Коли ціле число $n$ є квадратом цілого числа тобто $n=m^2$, кільце $\mathbb{Z}[x]/(x^2-n)$ не є областю цілісності. У цьому випадку $x^2-n=(x-m)(x+m)$ у $\mathbb{Z}[x]$і образи многочленів $x-m,x+m$ у фактор-кільці є не рівними нулю, а їх добуток буде рівним нулю.
• Кільце матриць розмірності $n\times n$ над довільним ненульовим кільцем для $n\ge 2$ не є областю цілісності.
• Кільце неперервних функції на одиничному інтервалі не є областю цілісності. Наприклад функції

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1-2x& x\in [0,\frac{1}{2}]\\ 0& x\in [\frac{1}{2},1]\end{array}g(x)=\{\begin{array}{cc}0& x\in [0,\frac{1}{2}]\\ 2x-1& x\in [\frac{1}{2},1]\end{array}$

не є всюди рівними нулю, натомість їх добуток $fg$ є нульовою функцією.

• Тензорний добуток $ℂ{\otimes }_{ℝ}ℂ$ не є областю цілісності. У цьому кільці існують два ідемпотенти $e_1=\frac{1}{2}(1\otimes 1)-\frac{1}{2}(i\otimes i)$ і $e_2=\frac{1}{2}(1\otimes 1)+\frac{1}{2}(i\otimes i)$ добуток яких $e_1{e}_2=0$.

Подільність, прості незвідні елементи

Нехай $a$ і $b$ — елементи цілісного кільця $K$. Говорять, що «$a$ ділить $b$» або «$a$ — дільник $b$» (і пишуть $a\mid b$), якщо і тільки якщо існує елемент $x\in K$ такий, що $ax=b$.

Подільність транзитивна: якщо $a$ ділить $b$ і $b$ ділить $c$, то $a$ ділить $c$. Якщо $a$ ділить $b$ і $c$, то $a$ ділить також їх суму $b+c$ і різниця $b-c$.

Для кільця $K$ з одиницею елементи $a\in K$, які ділять $1$, називаються оборотними або дільниками одиниці. Елементи $a$ і $b$ називаються асоційованими, якщо $a$ ділить $b$ і $b$ ділить $a$. $a$ і $b$ асоційовані тоді і тільки тоді, коли $a=b*e$, де $e$ — оборотний елемент.

Ненульовий елемент $q$, що не є оборотним називається незвідним, якщо його не можна розкласти в добуток двох елементів, що не є оборотними.

Ненульовий необоротний елемент $p$ називається простим, якщо з того, що $p\mid ab$, слідує $p\mid a$ або $p\mid b$. Це визначення узагальнює поняття простого числа в кільці $\mathbb{Z}$, проте враховує і негативні прості числа. Якщо $p$ — простий елемент кільця, то породжуваний ним головний ідеал $(p)$ буде простим. Будь-який простий елемент є незвідним, але зворотне вірно не у всіх областях цілісності.

Властивості

• Будь-яке поле, а також будь-яке кільце з одиницею, що міститься в деякому полі, є областю цілісності.
  • Навпаки, будь-яка область цілісності може бути вкладена в деяке поле. Таке вкладення дає конструкція поля часток.
• Якщо $A$ — область цілісності, то кільце многочленів і кільце формальних степеневих рядів над $A$ також будуть областями цілісності.
• Якщо $A$ — комутативне кільце з одиницею і $I$ — деякий ідеал $A$, то кільце $A/I$ є областю цілісності тоді і тільки тоді, коли ідеал $I$ є простим.
• У області цілісності можна застосувати правило скорочення: якщо $a=0$, то з рівності $ab=ac$ випливає $b=c$. Навпаки, якщо для кожного елемента $a=0$ рівності $ab=ac$ випливає $b=c$ то комутативне кільце є областю цілісності.
• Кільце буде областю цілісності тоді і тільки тоді, коли його спектр є незвідним топологічним простором.
• Прямий добуток кілець ніколи не є областю цілісності, оскільки одиниця першого кільця, помножена на одиницю другого кільця, дасть 0.
• Тензорний добуток цілісних кілець теж буде цілісним кільцем.
• Характеристика області цілісності є або нулем, або простим числом.
• Теорема Веддерберна: довільна скінченна область цілісності є полем.
• Область цілісності $A$ є рівною перетину локалізацій $A_{𝔪}$ по всіх максимальних ідеалах $𝔪.$

Оскільки $A\subset A_{𝔪}$для всіх максимальних ідеалів $𝔪$, то також $A\subset \bigcap _{𝔪}{A}_{𝔪}.$

Навпаки нехай $x\in \bigcap _{𝔪}{A}_{𝔪}$але $x\in ̸A.$ Множина $I=\{z\in A:zx\in A\}$ є власним ідеалом у $A$ (оскільки $1\in ̸I$). Тому $I$ міститься у деякому максимальному ідеалі $𝔪$. За умовою $x\subset A_{𝔪},$ тобто можна записати $x=a/s,a\in A,s\in ̸𝔪.$ Але тоді $sx=a\in A$ і тому має бути $s\in I\subset 𝔪.$ Одержане протиріччя завершує доведення.

Варіації і узагальнення

Іноді у визначенні області цілісності не вимагають комутативності. Прикладами некомутативних областей цілісності є тіла, а також підкільця тіл, що містять одиницю, наприклад кватерніони з цілими координатами. Проте, взагалі кажучи, невірно, що будь-яка некомутативна область цілісності може бути вкладена в деяке тіло.

Література

Українською

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Бондаренко.Теорія кілець
• Шаблон:Cite book

Іншими мовами

• Шаблон:Винберг.Курс алгебры
• Adamson Iain T. (1972). Elementary rings and modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
• Bourbaki, Nicolas (1988), Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-19373-9
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1999), Abstract algebra (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-36857-1
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967), Algebra, New York: The Macmillan Co., MR0214415