Ньютонівський потенціал

У математиці ньютонівський потенціал або потенціал Ньютона — оператор у векторному численні, який діє як обернений до від'ємного лапласіана для функцій, які є гладкими та достатньо швидко спадають на нескінченності. Як такий, він є фундаментальним об'єктом дослідження в теорії потенціалу. За загальною природою це Шаблон:Нп, визначений згорткою з функцією, що має математичну сингулярність у початку координат, ядро Ньютона Γ, яке є Шаблон:Нп рівняння Лапласа.

Названо на честь Ісаака Ньютона, який першим відкрив його й довів, що це гармонічна функція в Шаблон:Нп, де він служив основним гравітаційним потенціалом у законі всесвітнього тяжіння Ньютона.

У сучасній теорії потенціалу розглядається як електростатичний потенціал.

Ньютонівський потенціал інтегровної функції f із компактним носієм визначають як згортку$$u(x)=\mathrm{\Gamma }*f(x)=\underset{{ℝ}^d}{\int }\mathrm{\Gamma }(x-y)f(y)dy$$де ньютонівське ядро Γ в розмірності d визначають як$$\mathrm{\Gamma }(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2\pi }\log |x|& d=2\\ \frac{1}{d(2-d){\omega }_d}|x{|}^{2-d}& d\ne 2.\end{array}$$Тут ω_d — об'єм одиничної d-кулі (іноді позначення можуть відрізнятися; порівняйте Шаблон:Harvard citation та Шаблон:Harvard citation). Наприклад, для $d=3$ маємо $\mathrm{\Gamma }(x)=-1/(4\pi |x|).$

Ньютонівський потенціал w функції f є розв'язком рівняння Пуассона$$\mathrm{\Delta }w=f,$$це означає, що операція взяття ньютонівського потенціалу функції є частково оберненою до оператора Лапласа. Тоді w буде двічі диференційовним класичним розв'язком, якщо f обмежена і локально неперервна за Гельдером, як показав Отто Гельдер. Відкритим було питання, чи достатньо лише неперервності. Шаблон:Нп показав, що це не так, і навів приклад неперервної f, для якої w не диференційовний двічі. Розв'язок не єдиний, оскільки додавання будь-якої гармонічної функції до w не вплине на рівняння. Цей факт можна використати, щоб довести існування та унікальність розв'язків задачі Діріхле для рівняння Пуассона у відповідних регулярних ділянках і для відповідних функцій f: спочатку застосовують ньютонівський потенціал, щоб отримати розв'язок, а потім коригують, додаючи гармонічну функцію для отримання правильних граничних даних.

Ширше ньютонівський потенціал визначають як згортку$$\mathrm{\Gamma }*\mu (x)=\underset{{ℝ}^d}{\int }\mathrm{\Gamma }(x-y)d\mu (y)$$де μ — міра Радона з компактним носієм. Він задовольняє рівняння Пуассона$$\mathrm{\Delta }w=\mu$$у сенсі розподілів. Крім того, коли міра додатна, ньютонівський потенціал є субгармонічним на R^d.

Якщо f — неперервна функція з компактним носієм (або, загалом, скінченна міра), яка є обертально інваріантною, тоді згортка f з Шаблон:Math задовольняє для x поза носієм f$$f*\mathrm{\Gamma }(x)=\lambda \mathrm{\Gamma }(x),\lambda =\underset{{ℝ}^d}{\int }f(y)dy.$$У розмірності d = 3, це зводиться до теореми Ньютона про те, що потенціальна енергія малої маси поза набагато більшою сферично-симетрично розподіленою масою така ж, як ніби вся маса більшого об'єкта зосереджена в його центрі.

Коли міра μ асоціюється з розподілом маси на достатньо гладкій гіперповерхні S (поверхні Ляпунова класу Гельдера C^1,α), яка розділяє R^d на дві ділянки D₊ і D₋, тоді ньютонівський потенціал μ називають потенціалом простого шару. Потенціали простого шару є неперервними та розв'язують рівняння Лапласа, за винятком S. Вони природно з'являються при вивченні електростатики в контексті електростатичного потенціалу, пов'язаного з розподілом заряду на закритій поверхні. Якщо Шаблон:Math — добуток неперервної функції на S з (d − 1)-вимірною мірою Гаусдорфа, то в точці y в S нормальна похідна зазнає під час перетину шару стрибкового розриву f(y). Крім того, нормальна похідна від w є чітко визначеною неперервною функцією на S. Це робить прості шари особливо придатними для вивчення задачі Неймана для рівняння Лапласа.

Див. також

• Функція Гріна

Література

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
•  Шаблон:Springer
•  Шаблон:Springer
•  Шаблон:Springer