Нормальна система координат

Нормальна система координат — локальна система координат в околі точки ріманового многовиду (або, більш загально, многовиду з афінною зв'язністю), що одержується із координат на дотичному просторі в даній точці застосуванням експоненційного відображення.

Означення

Нехай $M$ є гладким многовидом із афінною зв'язністю $\mathrm{\nabla }$. Для дотичного простору $T_{p}M$ у точці $p\in M$ для кожного $V\in T_{p}M$ існує однозначно визначена геодезична крива ${\gamma }_V$, задана на якомусь проміжку (-t,t), тобто ${\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}\dot{\gamma }(t)=0$ на цьому проміжку і ${\dot{\gamma }}_V(0)=Y$. Ці геодезичні лінії задають експоненційне відображення на відкритій підмножині ${ℰ}_p\subset T_{p}M$:

${\exp }_p:{ℰ}_p\to M,V\mapsto {\exp }_p(V):={\gamma }_V(1)$.

Для базиса $(E_i{)}_i$ дотичного простору $T_{p}M$ існує лінійний ізоморфізм

$E:{ℝ}^n\to T_{p}M,$

заданий як $E(x^1,\dots ,x^n)=\sum _i{x}^i{E}_i$. Нехай $U\subset M$ є нормальним околом точки $p$, тобто околом для якого експоненційне відображення є дифеоморфізмом із околу $0\in V={\exp }_p^{-1}(U)$ у дотичному просторі $T_{p}M$ на $U$. Тоді відображення

$\varphi :U\to {ℝ}^n,U\ni q\mapsto E^{-1}\circ {\exp }_p^{-1}(q)$

є координатним відображенням, що задає локальну систему координат, які і називаються нормальними координатами.

Оскільки вибір координат на дотичному просторі є довільним, то і нормальні координати в околі точки не є однозначно визначеними. Для ріманових многовидів часто вимагається щоб базові вектори дотичного простору були ортонормальними. Тоді одержані координати також називаються рімановими нормальними координатами.

Властивості

Нехай $x^i$ є нормальними координатами в нормальному околі $U$ з центром у точці $p\in M$.

• Координатами точки $p$ є $(0,...,0)$
• Нехай $V\in T_{p}M$ із компонентами $V^i$ у локальних координатах. Тоді геодезична крива ${\gamma }_V$ із точки $p$ у напрямку $V$ у нормальних координатах на $U$ задається як ${\gamma }_V(t)=(t{V}^1,...,t{V}^n)$.
• Якщо тензор кручення афінної зв'язності $\mathrm{\nabla }$ є нульовим то Символи Крістофеля у точці $p$ у координатному базисі $X_i=\frac{\partial }{\partial x^i}$ є рівними нулю, тобто ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k(p)=0$. Ця властивість, зокрема, завжди є справедливою для ріманових многовидів із зв'язністю Леві-Чивіти.

За означенням афінної зв'язності і символів Крістофеля для координатного базиса ${\mathrm{\nabla }}_{X_i}{X}_j(p)=\sum _{k=1}^n{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k(p)X_k(p).$ За означенням тензора кручення $T(X_i,X_j)={\mathrm{\nabla }}_{X_i}{X}_j-{\mathrm{\nabla }}_{X_j}{X}_i-[X_i,X_j]$ і оскільки дужки Лі координатних векторних полів є нульовими і за умовою тензор кручення рівним нулю, то ${\mathrm{\nabla }}_{X_i}{X}_j={\mathrm{\nabla }}_{X_j}{X}_i.$ Із попередніх властивостей, крива задана у нормальних координатах як $\gamma (t)=(0,\dots ,t,\dots ,t,\dots ,0)$ де t є на позиціях i і j а всі решта координати рівні 0, є геодезичною і тому $0={\mathrm{\nabla }}_{X_i+X_j}{X}_i+X_j={\mathrm{\nabla }}_{X_i}{X}_i+{\mathrm{\nabla }}_{X_j}{X}_j+2{\mathrm{\nabla }}_{X_i}{X}_j.$ Але усі нормальні координатні лінії, що виходять із $p$ є геодезичними, то ж ${\mathrm{\nabla }}_{X_i}{X}_i={\mathrm{\nabla }}_{X_j}{X}_j=0,$ а тому також ${\mathrm{\nabla }}_{X_i}{X}_j=0.$ Звідси і всі символи Крістофеля у точці $p$ є рівними нулю.

• Для ріманового многовиду із зв'язністю Леві-Чивіти всі часткові похідні елементів $g_{ij}$ метричного тензора у точці $p$ є рівними нулю, тобто $\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}(p)=0,\mathrm{\forall }i,j,k$. У випадку ріманових нормальних координат у точці $p$ елементи $g_{ij}$ у $p$ є рівними ${\delta }_{ij}$.

Див. також

• Атлас (математика)
• Афінна зв'язність
• Диференційовний многовид
• Експоненційне відображення
• Тензор кручення

Література

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Chern, S. S.; Chen, W. H.; Lam, K. S.; Lectures on Differential Geometry, World Scientific, 2000