Матриця Гільберта

У лінійній алгебрі, матрицею Гільберта (була введена Давидом Гільбертом у 1894) називається квадратна матриця H з елементами:

$H_{ij}=\frac{1}{i+j-1},i,j=1,2,3,...,n$

Наприклад, матриця Гільберта 5 × 5 має вигляд:

$H=\left[\begin{array}{ccccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \frac{1}{5}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \frac{1}{5}& \frac{1}{6}\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \frac{1}{5}& \frac{1}{6}& \frac{1}{7}\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{5}& \frac{1}{6}& \frac{1}{7}& \frac{1}{8}\\ \frac{1}{5}& \frac{1}{6}& \frac{1}{7}& \frac{1}{8}& \frac{1}{9}\end{array}\right].$

На матрицю Гільберта можна подивитися як на матрицю, отриману з інтегралів:

$H_{ij}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{i+j-2}dx,$

тобто, як на матрицю Грама для степенів x. Вона виникає при апроксимації функцій поліномами методом найменших квадратів.

Матриця Гільберта є стандартним прикладом погано обумовлених матриць, що робить їх незручними для обчислення з допомогою обчислювально нестійких методів. Наприклад, число обумовленості відносно ${\Vert \cdot \Vert }_2$ — норми для матриці, що наведена вище, дорівнює 4.8 · 10⁵.

Історія

Гільберт (1894) ввів матрицю Гільберта при вивченні наступного питання: «Нехай Шаблон:Nowrap — дійсний інтервал. Чи можливо тоді знайти ненульовий поліном P з цілочисельними коефіціентами такий, що інтеграл

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}P(x{)}^{2}dx$

був би не менше будь-якого заданого числа ε > 0?» Для відповіді на дане питання Гільберт вивів точну формулу для визначника матриці Гільберта та дослідив її асимптотику. Він зробив висновок, що відповідь позитивна, якщо довжина Шаблон:Nowrap інтервалу менше ніж 4.

Властивості

• Матриця Гільберта є симетричною додатно визначеною матрицею. Більш того, матриця Гільберта є цілком додатньою матрицею.

• Матриця Гільберта є прикладом ганкелевої матриці.

• Визначник матриці Гільберта може бути виражений в явному вигляді, як окремий випадок визначника Коши. Визначник матриці Гільберта n × n дорівнює

$\det (H)=\frac{c_n^4}{c_{2n}},$

де

$c_n=\prod _{i=1}^{n-1}{i}^{n-i}=\prod _{i=1}^{n-1}i!.$

Вже Гільберт помітив цікавий факт, що визначник матриці Гільберта — це зворотнє ціле число (див. послідовність Шаблон:OEIS). Цей факт випливає з рівності

$\frac{1}{\det (H)}=\frac{c_{2n}}{c_n^4}=n!\cdot \prod _{i=1}^{2n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{[i/2]}).$

Користуючись формулою Стірлінга можна встановити наступний асимптотичний результат:

$\det (H)\approx a_n{n}^{-1/4}(2\pi {)}^n{4}^{-n^2}$

де a_n сходиться до константи $e^{1/4}{2}^{1/12}{A}^{-3}\approx 0.6450$ при $n\to \mathrm{\infty }$, де A — постійна Глейшера-Кінкелина.

• Матриця, зворотня до матриці Гільберта, може бути виражена у явному вигляді через біноміальні коефіцієнти:

$(H^{-1}{)}_{ij}=(-1{)}^{i+j}(i+j-1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+i-1}{n-j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+j-1}{n-i}){(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+j-2}{i-1})}^2$

де n — порядок матриці. Таким чином, елементи зворотньої матриці $H^{-1}$ — цілі числа.

• Число обумовленості матриці Гільберта n × n зростає як $O((1+\sqrt{2}{)}^{4n}/\sqrt{n})$.

Вклад Давида Гільберта в науку

• Простори: Гільбертів простір, Передгільбертів простір, Гільбертів куб
• Аксіоматика: Аксіоматика Гільберта
• Теореми: Теорема Гільберта 90, Теорема Гільберта про базис, Теорема Гільберта про нулі, Шаблон:Не перекладено
• Оператори: Перетворення Гільберта, оператор Гільберта — Шмідта
• Загальна теорія відносності: Рівняння Ейнштейна-Гільберта
• Інше: Проблеми Гільберта, Крива Гільберта, Матриця Гільберта, Шаблон:Не перекладено, Функція Гільберта, Парадокс Гільберта

Посилання

• Шаблон:Citation. Передруковано в Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book