Матриця Грама

Матриця Грама для набору векторів $v_1,\dots ,v_n$ — в лінійній алгебрі, у векторному просторі зі скалярним добутком це матриця, елементами якої є скалярні добутки $G_{ij}=⟨v_i,v_j⟩$. Якщо вектори $v_1,\dots ,v_n$ є стовпцями матриці $X$, то матриця Грама є добутком $X^{*}X$.

Властивості

• Матриця Грама є ермітовою (у дійсному випадку — симетричною).
• Матриця Грама є невід'ємновизначеною:

$x^{*}𝐆x=\sum _{i,j}{x}_i^{*}{x}_j⟨v_i,v_j⟩=\sum _{i,j}⟨x_i{v}_i,x_j{v}_j⟩=⟨\sum _i{x}_i{v}_i,\sum _j{x}_j{v}_j⟩=\Vert \sum _i{x}_i{v}_i{\Vert }^2\ge 0.$

• І навпаки, довільна невід'ємновизначена матриця є матрицею Грама для деякого набору векторів:

$M=B^{*}B$,

Такий розклад є неоднозначним і його можна здійснити багатьма способами, наприклад, здійснивши розклад Холецького чи знайшовши квадратний корінь матриці.

• Ортогональне перетворення набору векторів $v_1,\dots ,v_n$ не змінює їх матрицю Грама.

Застосування

Матриця Грама має застосування в теорії ймовірностей, теорії керування, чисельних методах та ін.

Див. також

• Визначник Грама
• Процес Грама — Шмідта

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць