Ортогональне перетворення

В лінійній алгебрі, ортогональне перетворення це лінійне перетворення T : V → V в дійсному просторі із визначеним внутрішнім добутком V, при якому зберігається внутрішній добуток. Тобто, для кожної пари Шаблон:Nowrap елементів V, маємо

$⟨u,v⟩=⟨Tu,Tv⟩.$

Оскільки довжина векторів і кутів між ними визначається через внутрішній скалярний добуток, ортогональне перетворення зберігає довжину векторів і кути між ними. Зокрема, ортогональні перетворення відображають ортонормовані базиси в ортонормовані базиси.

В дво- або тривимірному Евклідовому просторі ортогональні перетворення це жорсткі обертання, дзеркальні відбиття, або комбінації обертання і відбиття(також відоме як Шаблон:Нп). Відбиття це такі перетворення, які змінюють ліво на право, аналогічно як відзеркалення зображення. Матриці, які визначають правильне обертання (без дзеркального відбиття) мають детермінант +1. Перетворення із відбиттям задаються матрицями із детермінантом −1. Це дозволяє концепцію обертання і відбиття узагальнити для просторів з більшою розмірністю.

У просторах з скінченним виміром, матричне представлення (відповідно до ортонормованого базису) ортогонального перетворення є ортогональною матрицею. Її рядки є взаємно ортогональними векторами з одиничною нормою, так що рядки утворюють ортогональний базис V. Стовпці матриці є іншим ортогональним базисом V.

Інверсія ортогонального перетворення є іншим ортогональним перетворенням. Матричне представлення якого є транспонованою матрицею, що представляє ортогональне перетворення.

Приклади

Розглянемо простір внутрішнього добутку $({ℝ}^2,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ із стандартним евклідовим внутрішнім добутком і стандартним базисом. Тоді, матричне перетворення

$T=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right]:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$

є ортогональним. Аби пояснити це, розглянемо

$\begin{array}{ccc}T{e}_1=\left[\begin{array}{c}\cos (\theta )\\ \sin (\theta )\end{array}\right]& & T{e}_2=\left[\begin{array}{c}-\sin (\theta )\\ \cos (\theta )\end{array}\right]\end{array}$

Тоді,

$\begin{array}{cc}& ⟨T{e}_1,T{e}_1⟩=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& \sin (\theta )\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\cos (\theta )\\ \sin (\theta )\end{array}\right]={\cos }^2(\theta )+{\sin }^2(\theta )=1\\ & ⟨T{e}_1,T{e}_2⟩=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& \sin (\theta )\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}-\sin (\theta )\\ \cos (\theta )\end{array}\right]=\sin (\theta )\cos (\theta )-\sin (\theta )\cos (\theta )=0\\ & ⟨T{e}_2,T{e}_2⟩=\left[\begin{array}{cc}-\sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}-\sin (\theta )\\ \cos (\theta )\end{array}\right]={\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1\\ \end{array}$

Наведений приклад можна узагальнити для побудови всіх ортогональних перетворень. Наприклад, наступні матриці визначають ортогональне перетворення для $({ℝ}^3,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$:

$\left[\begin{array}{ccc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )& 0\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}\cos (\theta )& 0& -\sin (\theta )\\ 0& 1& 0\\ \sin (\theta )& 0& \cos (\theta )\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ 0& \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right]$

Див. також

• Лінійне відображення
• Ортогональна матриця
• Унітарне перетворення

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць