Ліндельофів простір

У математиці ліндельофів простір (простір Ліндельофа) — топологічний простір, в якому кожне відкрите покриття має злічене підпокриття. Властивість Ліндельофа є послабленням частіше використовуваного поняття компактності, яке вимагає існування скінченного підпокриття.

Успадкований простір Ліндельофа — топологічний простір, який є підпростором Ліндельофа. Такий простір іноді називають сильно ліндельофовим, але збиває з толку те, що такий термін іноді використовується в зовсім іншому значенні. Термін успадкований простір Ліндельофа є більш поширеним і однозначним.

Простори Ліндельофа названі на честь фінського математика Ернста Леонарда Ліндельофа.

Властивості просторів Ліндельофа

• Будь-який компактний простір, і взагалі кожен σ-компактний простір, є простором Ліндельофа. Зокрема, кожен зліченний простір також є простором Ліндельофа.

• Простір Ліндельофа є компактним тоді й лише тоді, коли він є зліченно компактним.

• Будь-який простір, що задовольняє другу аксіому зліченності, є простором Ліндельофа, проте не навпаки. Наприклад, існує багато компактних просторів, які не задовольняють другу аксіому зліченності.

• Метричний простір є ліндельофовим тоді й лише тоді, коли він сепарабельний, і тоді й лише тоді, коли він задовольняє другу аксіому зліченності.

• Будь-який регулярний простір Ліндельофа є нормальним.

• Будь-який регулярний простір Ліндельофа є паракомпактним.

• Зліченне об'єднання підпросторів Ліндельофа топологічного простору є ліндельофовим простором.

• Будь-який замкнений підпростір простору Ліндельофа є ліндельофовим простором. Отже, будь-яка F_σ-множина у просторі Ліндельофа є ліндельофовим простором.

• Довільні підпростори простору Ліндельофа не обов'язково є ліндельофовими просторами.

• Неперервний образ простору Ліндельофа є ліндельофовим простором.

• Добуток простору Ліндельофа і компактного простору є ліндельофовим простором.

• Добуток простору Ліндельофа і σ-компактного простору є ліндельофовим простором.

Це є наслідком попередньої властивості.

• Добуток двох просторів Ліндельофа не обов'язково є ліндельофовим простором.

Наприклад, лінія Зоргенфрея $S$ є ліндельофовим простором, але Шаблон:Нп $S\times S$ не є ліндельофовим простором.

• У просторі Ліндельофа будь-яке Шаблон:Нп сімейство непорожніх підмножин є зліченним.

Властивості успадкованого простору Ліндельофа

• Простір Ліндельофа є успадкованим тоді й лише тоді, коли будь-який відкритий підпростір простору є ліндельофовим простором.

• Успадковані простори Ліндельофа є замкненими відносно зліченних об'єднань, підпросторів і неперервних образів.

• Регулярний простір Ліндельофа є успадкованим ліндельофовим простором тоді й лише тоді, коли він є досконало нормальним.

• Будь-який простір, що задовольняє другу аксіому зліченності, є успадкованим простором Ліндельофа.

• Будь-який злічений простір є успадкованим простором Ліндельофа.

• Будь-який польський простір є успадкованим простором Ліндельофа.

• Будь-яка міра Радона на успадкованому просторі Ліндельйофа є модерованою.

Приклад: Площина Зоргенфрея не є простором Ліндельофа

Добуток просторів Ліндельофа не обов'язково є простором Ліндельофа. Типовим прикладом цього є Шаблон:Нп $𝕊$, яка є добутком дійсної прямої $ℝ$ з топологією напіввідкритих інтервалів з самою собою. Відкритими множинами на площині Зоргенфрея є об'єднання напіввідкритих прямокутників, які включають нижній і лівий краї і опускають верхній і правий краї, включаючи верхній лівий, нижній лівий і нижній правий кути. Антидіагональ площини $𝕊$ — множина точок $(x,y)$ таких, що $x+y=0$.

Розглянемо відкрите покриття площини $𝕊$, яке складається з:

1. Множини всіх прямокутників $(-\mathrm{\infty },x)\times (-\mathrm{\infty },y)$, де $(x,y)$ знаходяться на антидіагоналі.
2. Множинн всіх прямокутників $[x,+\mathrm{\infty })\times [y,+\mathrm{\infty })$, де $(x,y)$ знаходяться на антидіагоналі.

Тут слід зауважити, що кожна точка на антидіагоналі міститься точно в одній множині покриття, тому всі ці множини потрібні.

Інший спосіб переконатися, що $S$ не є простором Ліндельофа, полягає в тому, що треба помітити, що антидіагональ визначає замкнутий і незлічений дискретний підпростір простору $S$. Цей підпростір не є підпростором Ліндельофа, і тому весь простір не може бути ліндельофовим простором (оскільки замкнені підпростори просторів Ліндельофа також є просторами Ліндельофа).

Узагальнення

Наступне означення узагальнює означення компактності та ліндельофності: Топологічний простір є $\kappa$-компактним (або $\kappa$-ліндельофовим), де $\kappa$ є будь-яким кардинальним числом, якщо кожне відкрите покриття множини має підпокриття кардинальності строго меншої ніж $\kappa$. Компактний простір є тоді ${\mathrm{\aleph }}_0$-компактним і простір Ліндельофа є тоді ${\mathrm{\aleph }}_1$-компактним.

Степінь Ліндельофа, або число Ліндельофа $l(X)$, є найменшим кардинальним числом $\kappa$ таким, що кожна відкрите покриття простору $X$ має підпокриття розмірності не більше $\kappa$. У цьому позначенні, простір $X$ є простором Ліндельофа, якщо $l(X)={\mathrm{\aleph }}_0$. Визначене вище число Ліндельофа не розрізняє компактні простору і некомпактні простору Ліндельофа. Деякі автори назвали числом Ліндельофа інше поняття: найменше кардинальне число $\kappa$ таке, що кожне відкрите покриття простору $X$ має підпокриття розмірності строго меншої ніж $\kappa$. У цьому останньому (і менш уживаному) сенсі число Ліндельофа є найменшим кардинальним числом $\kappa$ таким, що топологічний простір $X$ є $\kappa$-компактним. Це поняття іноді також називають степенем компактності простору $X$.

Див. також

• Аксіоми зліченності
• Шаблон:Нп

Література

• Engelking, Ryszard, General Topology, Heldermann Verlag Berlin, 1989. Шаблон:ISBN
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995). Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446.
• Willard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004) Шаблон:ISBN