Кардинальне число

Шаблон:UniboxКардинальним числом (кардиналом) в теорії множин називається об'єкт, який характеризує потужність множини. Кардинальне число деякої множини $A$ позначається як $|A|$ або $card(A)$.

Георг Кантор давав таке визначення кардинального числа: "Потужністю даної множини А називається та загальна ідея, яка залишається у нас, коли ми, мислячи про цю множину, відволікаємося як від всіх властивостей її елементів, так і від їх порядку". Для скінченної множини A кардинальним числом |A| є натуральне число, яким позначається кількість елементів цієї множини.

Для нескінченних множин кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів.

Хоча кардинальні числа нескінченних множин не мають відображення в натуральних числах, але їх можна порівнювати:

Нехай A і B нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири випадки:

1. Існує взаємно однозначна відповідність між A і B, тобто A ~ B і |A|=|B|.
2. Існує взаємно однозначна відповідність між множиною A і деякою власною підмножиною B' множини B. Тоді кажуть, що потужність множини A не більша від потужності множини B і записують |A|≤|B|.
3. Множина A рівнопотужна деякій підмножині множини B і, навпаки, множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, тобто A~B' ⊆ B і B~A' ⊆ A. За теоремою Кантора — Бернштейна, у цьому випадку виконується A ~ B, тобто |A|=|B|.
4. Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A. З цієї ситуації випливало б, що потужності множин A і B непорівнювані між собою.

Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись на аксіому вибору, можна довести неможливість четвертого випадку.

Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівнювані між собою. Отже, для кардинальних чисел |A| і |B| довільних множин A і B виконується одне з трьох співвідношень: |A|=|B|, |A|≤|B| або |B|≤|A|. Якщо |A|≤|B|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то |A|<|B|.

Операції над кардинальними числами

Додавання

Нехай а та b два кардинальні числа. Їх сумою a+b називається кардинальне число множини A ∪ B, де А та В — довільні множини, що не перетинаються такі, що a=|A|, b=|B|. Очевидно, що операція додавання комутативна і асоціативна.

Множення

Добутком $a\cdot b$ двох кардинальних чисел а та b називається кардинальне число множини $A\times B$, де a=|A|, b=|B|, А та В — довільні множини. Операція множення комутативна та асоціативна.

Піднесення до степеня

Степенем $a^b$ кардинального числа а з показником b називається кардинальне число множини $A^B$, де a=|A|, b=|B|.

Арифметика кардинальних чисел

Додавання та множення кардинальних чисел є операціями асоціативними та комутативними, тобто:

$a+(b+c)=(a+b)+c$

$a+b=b+a$

$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

$a\cdot b=b\cdot a$

Множення дистрибутивне відносно додавання,тобто:

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Мають місце рівності:

$1^a=1$

$a^1=a$

$0\cdot a=0$

$a+0=a$

$a^{b+k}=a^b\cdot a^k$

$(a^b{)}^k=a^{b\cdot k}$

$(a\cdot b{)}^k=a^k\cdot b^k$

Істинні наступні твердження:

1) якщо $a\le b$ і $b\le c$, то $a\le c$

2) якщо $a\le b$, то $a+c\le b+c$

3) якщо $a\le b$, то $a\cdot c\le b\cdot c$

4) якщо $a\le b$, то $a^k\le b^k$

Теорема 1.

$[P(A)]=2^{[A]}$ для будь-якої множини А.

Теорема 2.(Г.Кантор)

$2^a>a$ для будь-якого кардинального числа а.

Приклади кардинальних чисел

• 0 (нуль) та натуральні числа — ними записуються потужності скінченних множин. Наприклад, порожня множина ∅ має потужність 0, а множина $\{\text{коза},\text{порося},\text{собака}\}$ — очевидно 3.
• ${\mathrm{\aleph }}_0$ (алеф-нуль) — потужність множини $\mathbb{N}$, тобто множини всіх натуральних чисел. Це найменше нескінченне кардинальне число. Множину з потужністю ${\mathrm{\aleph }}_0$ (тобто множину, рівнопотужну множині натуральних чисел) називають зліченною, прикладами зліченних множин є:
  • $\mathbb{N}$ — множина всіх натуральних чисел (очевидно);
  • будь-яка нескінченна підмножина з $\mathbb{N}$ (вона нескінченна, тому її кардинальне число нескінченне, але водночас вона вкладена в $\mathbb{N}$, тому її потужність не перевищує ${\mathrm{\aleph }}_0$);
  • $\mathbb{Z}$ — множина всіх цілих чисел (їх можна перелічити, наприклад, отак: 0, −1, 1, −2, 2, …);
  • ${\mathbb{N}}^2$ (множина пар натуральних чисел), а також ${\mathbb{N}}^3$ і будь-яка множина ${\mathbb{N}}^k$ при $k\in \mathbb{N}$ (елементи таких множин можна пронумерувати натуральними числами);
  • $\mathbb{Q}$ — множина всіх раціональних чисел ($|\mathbb{N}|\le |\mathbb{Q}|\le |{\mathbb{N}}^2|$).
• $𝔠$ — кардинальне число множини $ℝ$, тобто множини всіх дійсних чисел. Можна довести, що $𝔠=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ (при цьому за теоремою Кантора з цього випливає $𝔠>{\mathrm{\aleph }}_0$). Множину з потужністю $𝔠$ (тобто множину, рівнопотужну множині дійсних чисел) називають континуумом або континуальною множиною (водночас саме число $𝔠$ теж називають словом континуум), прикладами континуальних множин є:
  • $ℝ$ — множина всіх дійсних чисел (очевидно);
  • будь-який проміжок ненульової довжини з $ℝ$, наприклад: $[0,1)$, $(0,\mathrm{\infty })$ чи $[8,\frac{100}{3}]$ (довільно малий інтервал можна співставити всій множині дійсних чисел певною функцією, наприклад тангенсом);
  • ${ℝ}^2$ (множина пар дійсних чисел), ${ℝ}^3$ й інші ${ℝ}^n$ (при $n\in \mathbb{N})$.
• ${\mathrm{\aleph }}_1,{\mathrm{\aleph }}_2,\dots$ (алеф-один, алеф-два тощо) — наступні після ${\mathrm{\aleph }}_0$ у порядку зростання кардинальні числа. Якщо приймати континуум-гіпотезу, то $𝔠=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\mathrm{\aleph }}_1$; інакше можна лише сказати, що $𝔠=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\ge {\mathrm{\aleph }}_1$. Кантор довів, що не існує множини найбільшої потужності, тобто не існує найбільшого кардинального числа.
• ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$, де $\alpha$ — довільний ординал. Приклади для нескінченних ординалів: ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$, ${\mathrm{\aleph }}_{\omega +1}$, ${\mathrm{\aleph }}_{\omega \cdot 2}$, ${\mathrm{\aleph }}_{{\omega }^2}$ тощо.

Гіпотеза континуума

Континуум-гіпотеза стверджує, що не існує множини, кардинальне число $\kappa$ якої розташоване між ${\mathrm{\aleph }}_0$ (кардиналом множини натуральних чисел) та $𝔠$ (кардиналом множини дійсних чисел), тобто ${\mathrm{\aleph }}_0<\kappa <𝔠$.

Якщо приймати континуум-гіпотезу, то $𝔠=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\mathrm{\aleph }}_1$; інакше можна лише сказати, що $𝔠=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\ge {\mathrm{\aleph }}_1$.

Див. також

• Потужність множини
• Теорема Кантора — Бернштейна
• Континуум-гіпотеза
• Великі кардинальні числа

Джерела

• Шаблон:Куратовский.Мостовский.Теория множеств