Лема Накаями

Лема Накаями — твердження в теорії кілець що має важливі застосування зокрема в алгебраїчної геометрії. Термін застосовуєть для кількох нееквівалентних тверджень, як для комутативних так і некомутативних кілець. У комутативному випадку лема є простим наслідком результатів лінійної алгебри зокрема правила Крамера або теореми Гамільтона — Келі. Лема названа на честь японського математика Тадасі Накаями, який вперше сформулював її у досить загальнму варіанті для некомутативних кілець. Часткові випадки, зокрема і комутативний варіант були відомі і раніше.

Варіант для комутативних кілець

Твердження і доведення

Шаблон:Рамка Нехай R — комутативне кільце з одиницею 1, I ідеал в R, а M — скінченнопороджений модуль над кільцем R. Якщо IM = M, тоді існує a ∈ I такий, що $am=m,\mathrm{\forall }m\in M$. Шаблон:/рамка

Доведення леми. Нехай $m_1,m_2,...,m_n$ — твірні модуля M. Так як M = IM, кожен з них задовольняє рівність:

$m_i=a_{i1}{m}_1+a_{i2}{m}_2+\dots +a_{in}{m}_n$, де $a_{ij}$ — елементи ідеалу I. Тобто $\sum _j({\delta }_{ij}-a_{ij})m_j=0$.

З формули Крамера для цієї системи випливає, що для довільного j

$\det ({\delta }_{ij}-a_{ij})\cdot m_j=0$.

Так як $\det ({\delta }_{ij}-a_{ij})$ рівний 1 — a, для деякого a, що належить ідеалу I, лема доведена.

Наступний наслідок з доведеного твердження також відомий як лема Накаями:

Наслідок 1: Якщо в умовах леми ідеал I має властивість, що для кожного його елемента a елемент 1 — a є оборотним (наприклад, це так, якщо I міститься в радикалі Джекобсона), необхідно повинно бути M = 0.

Доведення. Існує елемент a ідеалу I, такий що $am=m,\mathrm{\forall }m\in M$, отже, $(a-1)m=0,\mathrm{\forall }m\in M$, домножимо зліва на елемент, обернений до 1 — a, одержуємо, що M = 0.

Застосування до модулів над локальними кільцями

Нехай R — локальне кільце, $𝔪$ — максимальний ідеал в R, M — скінченнопороджений R — модуль, і $\varphi :M\to M/𝔪M$ — гомоморфізм факторизації. Лема Накаями дає зручний засіб для переходу від модуля M над локальним кільцем R до фактор-модуля $M/𝔪M$, який є скінченновимірним лінійним простором над полем $R/𝔪$. Наступне твердження також вважається однією з форм леми Накаями, для цього випадку: Шаблон:Рамка Елементи $m_1,m_2,...,m_n\in M$ породжують модуль M тоді і тільки тоді, коли їх образи $\varphi (m_1),\varphi (m_2),...,\varphi (m_n)$ породжують фактор-модуль $M/𝔪M$. Шаблон:/рамка

Доведення. Нехай S — підмодуль в M, породжений елементами $m_1,m_2,...,m_n$, Q = M/S — фактор-модуль і $\pi :M\to Q$ — гомоморфізм факторизації. Так як $\varphi (m_1),\varphi (m_2),...,\varphi (m_n)$ породжують фактор-модуль $M/𝔪M$, це означає, що для всякого $m\in M$ існує $s\in S$, такий що $m+s\in 𝔪M$. Тоді $\pi (m)=\pi (m+s)\in 𝔪Q$. Оскільки $\pi$ сюр'ективне, це означає, що $Q=𝔪Q$. Згідно леми Накаями (точніше, згідно Наслідку 1) Q = 0, тобто S = M.

Справедливим є ще один варіант леми Накаями для модулів над локальними кільцями: Шаблон:Рамка Нехай $\varphi :M\to N$ — гомоморфізм скінченнопороджених R — модулів. Він індукує гомоморфізм фактор-модулів ${\varphi }_0:M/𝔪M\to N/𝔪N$. Ці гомоморфізми сюр'єктивні або не сюр'єктивні одночасно. Шаблон:/рамка

На основі цієї форми леми Накаями виводиться наступна важлива теорема: Шаблон:Рамка Всякий скінченнопороджений проєктивний модуль над локальним кільцем є вільним. Шаблон:/рамка

Квадрати скінченнопороджених ідеалів

Ще одним важливим наслідком леми Накаями є таке твердження: Нехай I — скінченнопороджений ідеал в комутативному кільці R і при цьому I не рівний самому кільцю і нульовому ідеалу. Тоді якщо I I = I (тобто ідеал рівний своєму квадрату), то ідеал I — головний, при чому елемент, що його породжує є ідемпотентним.

Справді оскільки скінченнопороджений ідеал є за означенням також скінченнопородженим модулем згідно леми Накаями, якщо I I = I то існує елемент e ∈ I такий, що $em=m,\mathrm{\forall }m\in I$. Звідси також e e = e тобто елемент e є ідемпотентом і R e є підмножиною I оскільки e ∈ I. Звідси I = R e.

Як наслідок жоден ненульовий власний скінченнопороджений ідеал області цілісності не рівний своєму квадату. Зокрема у кільці Нетер всі ненульові власні ідеали не рівні своєму квадрату.

Некомутативний випадок

У некомутативному випадку один з варіантів леми Накаями можна сформулювати так:

Шаблон:Рамка Нехай R — деяке довільне кільце з одиницею 1, M — скінченнопороджений правий модуль над кільцем R. Тоді якщо J(R) позначає радикал Джекобсона то J(R) M є власним підмодулем модуля M. Шаблон:/рамка

Література

• М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.
• Nakayama, Tadasi (1951), «A remark on finitely generated modules», Nagoya Mathematical Journal