Круги Форда

Круги Форда. В основі темніших кругів підписано відповідні нескоротні дроби. Кожен круг дотикається до осі абсцис і сусідніх кругів. Нескоротні дроби з рівними знаменниками відповідають кругам одного радіуса.

Круги Форда — круги з центрами в точках з координатами $(p/q,1/(2q^2))$ і радіусами $1/(2q^2)$, де $p/q$ — нескоротний дріб. Кожен круг Форда дотикається до горизонтальної осі $y=0$, і будь-які два круги або дотикаються між собою, або не перетинаються.

Історія

Круги Форда — особливий випадок взаємно дотичних кругів. Системи взаємно дотичних кругів вивчав Аполлоній Перзький, на честь якого названо задачу Аполлонія і сітку Аполлонія. У XVII столітті Декарт довів теорему про співвідношення між оберненими радіусами взаємно дотичних кругів.

Круги Форда названо на честь американського математика Шаблон:Не перекладено, який писав про них 1938 року.

Властивості

Круг Форда, яке відповідає дробу $p/q$, позначають як $C[p/q]$ або $C[p,q]$. Кожному раціональному числу відповідає круг Форда. Крім того, півплощину $y⩾1$ теж можна вважати виродженим кругом Форда нескінченного радіусу, відповідним парі чисел $p=1,q=0$.

Будь-які два різних круги Форда або не перетинаються зовсім, або дотикають між собою.

Ні в яких двох кругів Форда не перетинаються внутрішні області, попри те що в кожній точці на осі абсцис, яка має раціональну координату, до цієї осі дотикається один круг Форда.

Якщо $0<p/q<1$, то множину кругів Форда, що дотикаються $C[p/q]$, можна описати будь-яким з таких способів:

1. круги $C[r/s]$, де $|ps-qr|=1$,
2. круги $C[r/s]$, де дроби $r/s$ сусідять з $p/q$ в якому-небудь ряді Фарея, або
3. круги $C[r/s]$, де $r/s$ — найближчий менший або найближчий більший предок $p/q$ в дереві Штерна — Броко, або $p/q$ — найближчий менший або більший предок $r/s$.

Круги Форда також можна розглядати як області на комплексній площині. Модулярная група перетворень комплексної площини відображає круги Форда в інші круги Форда.

Якщо інтерпретувати верхню половину комплексної площини як модель гіперболічної площини (модель Пуанкаре на півплощині), то круги Форда можна інтерпретувати як замощення гіперболічної площини орициклами.

Будь-які два круги Форда конгруентні в гіперболічній геометрії. Якщо $C[p/q]$ і $C[r/s]$ — дотичні круги Форда, то півколо що проходить через точки $(p/q,0)$ і $(r/s,0)$ і перпендикулярне до осі абсцис — це гіперболічна пряма, що проходить також через точку дотику двох кругів Форда.

Круги Форда утворюють підмножину кругів, з яких складається сітка Аполлонія, задана прямими $y=0$ і $y=1$ і кругом $C[0/1]$.

Загальна площа кругів

Є зв'язок між загальною площею кругів Форда, функцією Ейлера $\phi$, дзета-функцією Рімана і сталою Апері $\zeta (3)$. Оскільки ніякі два круги Форда не перетинаються по внутрішніх точках, то негайно отримуємо, що сумарна площа кругів

$\{C[p,q]:0⩽\frac{p}{q}⩽1\}$

менша від 1. Ця площа дається збіжною сумою, яку можна обчислити аналітично. За визначенням, шукана площа дорівнює

$A=\sum _{q⩾1}\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{(p,q)=1}{1⩽p<q}}\pi {\left(\frac{1}{2q^2}\right)}^2.$

Спрощуючи цей вираз, отримуємо

$A=\frac{\pi }{4}\sum _{q⩾1}\frac{1}{q^4}\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{(p,q)=1}{1⩽p<q}}1=\frac{\pi }{4}\sum _{q⩾1}\frac{\phi (q)}{q^4}=\frac{\pi }{4}\frac{\zeta (3)}{\zeta (4)},$

де остання рівність використовує формулу для ряду Діріхле з коефіцієнтами, що даються функцією Ейлера. Оскільки $\zeta (4)={\pi }^4/90$, в результаті отримуємо

$A=\frac{45}{2}\frac{\zeta (3)}{{\pi }^3}\approx 0.872284041.$

Див. також

• Поризм Штейнера
• Поризм Понселе
• Ряд Фарея
• Сітка Аполлонія
• Ланцюг Паппа Александрійського

Посилання

• Ford's Touching Circles Шаблон:Webarchive Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Mathworld