Круги Гершгорина

Круги Гершгорина — набір кругів на комплексній площині, які локалізують власні значення матриці. Потребують набагато меньше обчислень, ніж обчислення самих власних значень. Вперше були описані в 1931 році Семеном Аноновичем Гершгориним.

Теорема Гершгорина

Нехай $A$ — комплексна матриця розміру $n\times n$ з елементами $a_{ij}$, позначимо через $R_i$ суму абсолютних значень недіагональных елементів $i$-го рядка (де $1\le i\le n$):

$R_i=\sum _{j\ne i}\left|a_{ij}\right|.$

Розглянемо $D(a_{ii},R_i)\subseteq ℂ$ — круг з центром в $a_{ii}$ і радіусом $R_i$. Такий круг називається кругом Гершгорина.

Теорема. Кожне власне значення матриці $A$ лежить хоча б в одному з кругів Гершгорина $D(a_{ii},R_i)$.

Доведення. Нехай $\lambda$ — власне значення матриці $A$ з його власним вектором $x=(x_j)$. Виберемо таке $i$, що $x_i$ — координата з найбільшим по модулю значенням серед всіх координат вектора $x$. Оскільки $Ax=\lambda x$, для $i$-ої координати цієї рівності:

$\sum _j{a}_{ij}{x}_j=\lambda x_i.$

Перенесемо $a_{ii}$ в інший бік:

$\sum _{j\ne i}{a}_{ij}{x}_j=(\lambda -a_{ii})x_i.$

Тоді, застосовуючи нерівність трикутника і, використовуючи, що $\frac{\left|x_j\right|}{\left|x_i\right|}\le 1$ з вибору $i$, отримуємо:

$|\lambda -a_{ii}|=\left|\sum _{j\ne i}\frac{a_{ij}{x}_j}{x_i}\right|\le \sum _{j\ne i}\left|a_{ij}\right|=R_i.$

Наслідок. Власні значення матриці $A$ також повинні належати кругам Гершгорина $C_j$, що відповідають стовпцям матриці $A$.

Приклад. Для діагональної матриці, круги Гершгорина мають нульовий радіус і співпадають зі спектром. Вірне і обернене твердження: якщо круги Гершгорина співпадають зі спектром, то матриця діагональна.

Властивості

• Перетворюючи матрицю, щоб зменшити суму норм недіагональних елементів можна отримати більш точні оцінки власних значень матриці. Діагональні елементи в процесі перетворення можуть змінюватись.
• Теорема не стверджує, що кожному власному значенню відповідає один круг Гершгорина. В матриці

$\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 2\\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 0& c\end{array}\right){\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 2\\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-3a+2b+2c& 6a-2b-4c& 6a-4b-2c\\ b-a& a+(a-b)& 2(a-b)\\ c-a& 2(a-c)& a+(a-c)\end{array}\right)$

— яка за побудовою має власні значення $a,b,c$ з власними векторами $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ — легко побачити, що круг для рядка 2 покриває $a$ та $b$, тоді як круг для рядка 3 покриває $a$ та $c$.

Посилена теорема Гершгорина

Теорема: Якщо $k$ кругів утворюють зв'язну область, ізольовану від інших $n-k$ кругів, то ця область містить точно $k$, а друга — $n-k$ власних значень матриці $A$.

Доведення. Доведення використовує неперервну залежність власних значень матриці від її коефіцієнтів.

Приклад

Для матриці

$A=\left[\begin{array}{cccc}10& -1& 0& 1\\ 0.2& 8& 0.2& 0.2\\ 1& 1& 2& 1\\ -1& -1& -1& -11\end{array}\right].$

Використовуючи суми по рядках і стовпцях, отримаємо 4 круга: $D(10,2),D(8,0.6),D(2,1.2),D(-11,2.2)$.

Див. також

• Критерій регулярності Адамара

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:PlanetMath
• Шаблон:MathWorld