Критерій регулярності Адамара

Критерій регулярності Адамара — твердження про невиродженість діагонально панівної матриці.

Теорема Адамара

Домінування діагонального елемента матриці в рядку називається умовою Адамара:

$H_i\equiv |a_{ii}|-\sum _{j\ne i}^n|a_{ij}|>0(i=1,2\dots n).$

Теорема стверджує, що якщо для всіх рядків матриці виконується умова Адамара, то матриця є невиродженою.

Доведення. Проведем його від супротивного. Доведемо що у виродженій матриці умова Адамара порушується в одному з рядків.

Припу́стимо, що матриця вироджена, тобто $|A|=0$. Тоді є такі числа $x_1,x_2,\dots x_n$ з максимальним $|x_k|>0$, що

$\sum _{j=1}^n{a}_{kj}{x}_j=0.$

Але тоді

$|a_{kk}|\cdot |x_k|\le \sum _{j\ne i}^n|a_{kj}|\cdot |x_j|\le |x_k|\sum _{j\ne i}^n|a_{kj}|.$

Скорочуючи на $|x_k|$, отримуємо

$|a_{kk}|\le \sum _{j\ne i}^n|a_{kj}|,$

що є порушенням умови Адамара.

Наслідок. Якщо виконуються умови Адамара, то для $mod|A|$ справедлива наступна оцінка знизу:

$mod|A|\ge H_1{H}_2\dots H_n>0.$

Теорема Таусскі

Послабленими умовами Адамара називаються нерівності:

$H_i\ge 0(i=1,2\dots n).$

Теорема стверджує, що для нерозкладної матриці, для рядків якої виконуються послаблені умови Адамара, і для принаймі одного з рядків виконується звичайна умова Адамара, то така матриця є невиродженою.

Зауваження. Обидві теореми і наслідок справедливі також для стовпців матриці.

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць