Нерозкладна матриця

Нерозкладна матриця — невід'ємна матриця яку перестановкою рядків і стовпців не можна привести до блочного трикутного вигляду. Нерозкладні матриці є деяким узагальненням додатних матриць, для яких зберігаються властивості теореми Перрона — Фробеніуса.

Означення

Квадратна матриця A розмірності n з невід'ємними елементами називається розкладною якщо вона задовольняє такі еквівалентні умови:

• Існує така підмножина $S\subset \{1,2,\dots ,n\},$ що виконуються рівності: $a_{ij}=0\mathrm{\forall }i\in S,j\notin S$
• Деякою перестановкою рядків і стовпців матрицю можна привести до вигляду:

$PA{P}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}B& 0\\ C& D\end{array}\right]$

де B і D — деякі квадратні матриці, 0 — нуль-матриця, P — матриця перестановки.

Якщо такої множини індексів S не існує (і матрицю не можна привести до вказаного виду), то матриця називається нерозкладною.

Іншими еквівалентними означеннями нерозкладних матриць є:

• $(I+A{)}^{n-1}>0$

де I — одинична матриця.

• Для будь-яких цілих чисел (i, j) таких що $1⩽i,j⩽n$ існує число $1⩽k⩽n,$ що виконується: $(A^k{)}_{ij}>0$
• Нехай введено орієнтований граф вершини якого відповідають рядкам і стовпцям матриці і від вершини i до вершини j дуга йде тоді і тільки тоді, коли $a_{ij}>0.$ Тоді матриця A є нерозкладною тоді і тільки тоді, коли відповідний граф є сильно зв'язаним.

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць