Крива

Парабола — одна з найпростіших кривих

Крива́ — лінія в евклідовому просторі або в многовиді.

Рівняння кривої можна задавати в параметричній формі:

$x^i=x^i(t)$

де $x^i$ — координати точок кривої в деякій системі координат, заданій в евклідовому просторі або многовиді, а $t$ — скалярний параметр (його можна фізично уявляти моментом часу t=time, а саму криву як траєкторію руху точки)

Розглянемо рівняння кривої в декартовій системі координат $n$-вимірного евклідового простору. Введемо позначення радіус-вектора точки кривої:

$𝐫=\{x^1,x^2,\mathrm{...}{x}^n\}$

Дотичний вектор

Похідну за параметром позначатимемо крапкою зверху:

$\dot{𝐫}=\frac{d𝐫}{dt}$

${\dot{x}}^i=\frac{d{x}^i}{dt}$

Очевидно, що вектор $𝐯=\dot{𝐫}$ (у фізичній інтерпретації швидкість точки) є дотичним до кривої.

Довжина кривої

Шаблон:Main Квадрат відстані між двома нескінченно близькими точками $𝐫$ і $𝐫+d𝐫$ дорівнює:

$(1)d{s}^2=(d𝐫\cdot d𝐫)=\sum _i(d{x}^i{)}^2=\sum _i(d{\dot{x}}^i{)}^2(dt{)}^2$

Довжина відрізка кривої, коли параметр $t$ пробігає значення від $t_1$ до $t_2$, дається інтегралом:

$(2)s={\int }_{t_1}^{t_2}ds={\int }_{t_1}^{t_2}\sqrt{{\dot{x}}^i{\dot{x}}^i}dt$

Якщо в інтегралі (2) розглядати верхню межу як змінний параметр, то маємо функцію $s=s(t)$, визначену з точністю до константи (точки відліку, або нижньої межі в інтегралі (2)). Ця величина $s$ також параметризує точки нашої кривої; $s$ називається натуральним параметром кривої.

Якщо вектор швидкості $𝐯=\dot{𝐫}$ ніде не перетворюється в нуль, то підінтегральна функція в (2) додатня, а отже функція $s=s(t)$ всюди монотонно зростає і має обернену функцію $t=t(s)$.

Кривина кривої

Із рівності $d{s}^2=(d𝐫\cdot d𝐫)$ слідує, що похідна радіус-вектора за натуральним параметром кривої:

$𝝉=\frac{d𝐫}{ds}$

є дотичним вектором одиничної довжини.

$(3){𝝉}^2=(𝝉\cdot 𝝉)=1$

Диференціюючи (3) за натуральним параметром маємо:

$\frac{d}{ds}(𝝉\cdot 𝝉)=2(𝝉\cdot \frac{d𝝉}{ds})=0$

Отже вектор $𝐤=\frac{d𝝉}{ds}=\frac{d^2𝐫}{d{s}^2}$ ортогональний до кривої. Цей вектор прийнято розкладати на добуток одиничного вектора $𝐧$ нормалі до кривої, та скаляра $k$ який називається кривиною:

$𝐤=k𝐧$

Геометричний зміст кривини

Покажемо (навіть двома способами), що кривина дорівнює оберненій величині до радіуса $R$ дотичного кола:

$(4)k=\frac{1}{R}$

Перший спосіб: через кут між дотичними векторами одиничної довжини в сусідніх точках кривої. Нехай в точці з параметром $s$ маємо дотичний вектор $𝝉$, а в точці з параметром $s^{\prime }=s+\Delta s$ — дотичний вектор ${𝝉}^{\prime }=𝝉+\Delta 𝝉$. Ці два вектора мають однакову довжину (одиницю), і якщо їхні початки звести в одну точку, утворять рівнобедрений трикутник. Якщо кут між векторами позначити $\Delta \alpha$, то довжина третьої сторони буде дорівнювати:

$|\Delta 𝝉|=2\sin \frac{\Delta \alpha }{2}\approx \Delta \alpha$

Оскільки для кола радіуса $R$ маємо $\Delta s=R\Delta \alpha$, то маємо для кривини кривої:

$k=|\frac{d𝝉}{ds}|\approx \frac{|\Delta 𝝉|}{\Delta s}=\frac{\Delta \alpha }{R\Delta \alpha }=\frac{1}{R}$

Другий спосіб: через рівняння кола. Для простоти формул, візьмемо початок координат евклідового простору в точці кривої, для якої ми будемо шукати найближче коло, а також будемо відраховувати натуральні параметри кривої і кола від цієї ж точки. З точністю до членів другого порядку малості маємо для точок кривої:

$(5)𝐫\approx \frac{d𝐫}{ds}s+\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}\frac{d^2𝐫}{d{s}^2}{s}^2=𝝉s+\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}𝐤s^2$

Коло радіуса $R$, дотичне до вектора $𝝉$, матиме центр в ортогональній до $𝝉$ гіперплощині. Запишемо координати центра кола у вигляді ${𝐫}_c=R𝐧$, де $𝐧$ є довільним (поки що) одиничним вектором, що лежить у цій гіперплощині. Маємо ортогональність:

$(𝐧\cdot 𝝉)=0$

Рівняння точки кола в параметричній формі (параметром є центральний кут):

$(6){𝐫}^{\prime }=R\sin t𝝉+R(1-\cos t)𝐧$

Врахуємо, що довжина дуги кола дорівнює $s=Rt$, і розкладемо останнє рівняння в ряд з точністю до доданків другого порядку малості:

$(7){𝐫}^{\prime }\approx Rt𝝉+\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}R{t}^2𝐧=𝝉s+\frac{1}{2R}𝐧s^2$

Порівнюючи рівності (5) і (7), маємо що коло буде збігатися з кривою з точністю до членів другого порядку (${𝐫}^{\prime }\approx 𝐫$), якщо:

$(8)𝐤=\frac{1}{R}𝐧$

Типи кривих

• Замкнена крива — крива у якої початок збігається з кінцем (див. також Теорема Жордана).
• Плоска крива — крива, всі точки якої лежать в одній площині.
• Проста крива — те саме, що крива Жордана
• Шлях — неперервне відображення відрізка $[0,1]$ в топологічний простір.
• Трансцендентна крива

Типи точок на кривій

• Точка зламу
• Точка перегину

Скрут

Якщо евклідів простір має розмірність $n⩾3$, то можна поставити питання про зміну орієнтації дотичної площини (в якій лежать дотичний вектор $𝝉$ та вектор нормалі $𝐧$) при русі вздовж кривої. Розглянемо бівектор (спеціальну антисиметричну матрицю, компоненти якої виражені через координати векторів $𝝉$ і $𝐧$) $𝝈=𝝉\wedge 𝐧$:

${\sigma }_{ij}={\tau }_i{n}_j-{\tau }_j{n}_i$

Величина цього бівектора дорівнює одиниці (площі квадрата, побудованого на векторах $𝝉$ і $𝐧$):

$\sum _{i<j}({\sigma }_{ij}{)}^2=\frac{1}{2}\sum _{i,j}({\tau }_i{n}_j-{\tau }_j{n}_i{)}^2=\frac{1}{2}\sum _{i,j}({\tau }_i^2{n}_j^2+{\tau }_j^2{n}_i^2-2({\tau }_i{n}_i)({\tau }_j{n}_j))=(𝝉\cdot 𝝉)(𝐧\cdot 𝐧)-(𝝉\cdot 𝐧{)}^2=1$

Похідна бівектора за натуральним параметром дорівнює:

$\dot{𝝈}=\dot{𝝉}\wedge 𝐧+𝝉\wedge \dot{𝐧}=k𝐧\wedge 𝐧+𝝉\wedge \dot{𝐧}=𝝉\wedge \dot{𝐧}$

Звідси робимо висновок, що дві площини $𝝈$ і ${𝝈}^{\prime }=𝝈+\Delta 𝝈$ перетинаються по прямій, дотичній до кривої (містять вектор $𝝉$):

${𝝈}^{\prime }=𝝉\wedge 𝐧+𝝉\wedge \dot{𝐧}\Delta s=𝝉\wedge (𝐧+\dot{𝐧}\Delta s)$

Отже дотична площина при русі вздовж кривої обертається «довкола» дотичної прямої. Поворот в тривимірному просторі має очевидний зміст, в просторах більшої розмірності поворот означає кут між нормалями до спільної прямої. Похідна кута повороту за натуральним параметром називається скрутом:

$\varkappa =\frac{d\varphi }{ds}=|𝝉\wedge \dot{𝐧}|$

Формули Френе-Серре

Шаблон:Головна Розглянемо детальніше випадок кривої в тривимірному просторі. Два одиничні вектора $𝝉$ і $𝐧$ ми можемо доповнити третім, їх векторним добутком:

$𝐟=𝝉\times 𝐧$

Ці три вектори утворюють репер (змінний базис у тривимірному просторі), і ми можемо поставити питання, як похідні за натуральним параметром від векторів репера ($\dot{𝝉}$, $\dot{𝐧}$ i $\dot{𝐟}$) розкладаються по цьому ж базису. Ми вже знаємо, що $\dot{𝝉}=k𝐧$. Залишається знайти похідні ще двох одиничних векторів. Почнемо з одиничного вектора нормалі $𝐧$. Із постійності величини цього вектора знаходимо:

$0=\frac{d}{ds}(𝐧\cdot 𝐧)=2(𝐧\cdot \dot{𝐧})$

Тобто похідна $\dot{𝐧}$ ортогональна до самого вектора нормалі $𝐧$, а тому розкладається по двом іншим векторам репера:

$(9)\dot{𝐧}=\alpha 𝝉+\beta 𝐟$

Користуючись цим розкладом, можна знайти і похідну $\dot{𝐟}$:

$\dot{𝐟}=\frac{d}{ds}(𝝉\times 𝐧)=\dot{𝝉}\times 𝐧+𝝉\times \dot{𝐧}=k𝐧\times 𝐧+𝝉\times (\alpha 𝝉+\beta 𝐟)=\beta 𝝉\times 𝐟=-\beta 𝐧$

Знайдемо коефіцієнти розкладу $\alpha$ і $\beta$. З останньої формули видно, що $\beta$ (з точністю до знаку) є швидкістю повороту одиничного вектора $𝐟$, а отже і дотичної до кривої площини ($𝐟$ є вектором нормалі до цієї площини). Отже цей коефіцієнт є крученням: $\beta =\varkappa$. Коефіцієнт $\alpha$ можна знайти, скалярно помноживши рівність (9) на $𝝉$:

$\alpha =(𝝉\cdot \dot{𝐧})=\frac{d}{ds}(𝝉\cdot 𝐧)-(\dot{𝝉}\cdot 𝐧)=-(k𝐧\cdot 𝐧)=-k$

У підсумку одержуємо систему трьох рівнянь:

$\dot{𝝉}=k𝐧$

$\dot{𝐧}=-k𝝉+\varkappa 𝐟$

$\dot{𝐟}=-\varkappa 𝐧$

Ці рівняння відкрили два французькі математики: Шаблон:Li (1852) і Шаблон:Li (1851).

Коефіцієнт $\varkappa$ у формулах Френе — Серре може бути додатнім або від'ємним в залежності від того, правою чи лівою гвинтовою лінією апроксимується крива в околі даної точки.

Див. також

• Лінія
• Алгебрична крива
• Відстань Фреше

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр