Згортка (математичний аналіз)

Згортка двох квадратних імпульсів: результатом є імпульс трикутної форми. Одна з функцій (в даному випадку g) спочатку відображається черезз $\tau =0$ і тоді зсувається на t, результатом є $g(t-\tau )$. Площа під кривою, що є добутком цих функцій і є згорткою по t. Горизонтальна вісь це $\tau$ для f і g, і t для $f\ast g$

Згортка квадратного імпульсу (вхідний сигнал) з імпульсом відповіді в RC колі для отримання кривої вихідного сигналу. Інтеграл добутку — це площа жовтої ділянки.

Шаблон:Інші значення Зго́ртка (Шаблон:Lang-en) — математична операція двох функцій $f(t)$ та $g(t)$, що дозволяє отримати третю функцію:

$(f*g)(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t-\tau )g(\tau )d\tau$

Основною властивістю згортки є те, що фур'є-образ згортки пропорційний добутку фур'є-образів функцій.

Згортка на групах

Нехай $G$ — група Лі, оснащена мірою Хаара $m$, і $f,g:G\to ℝ$ — дві функції, визначенні на $G$. Тоді їх згорткою називається функція

$f*g(x)=\underset{G}{\int }f(y)g\left(x{y}^{-1}\right)m(dy),\mathrm{\forall }x\in G$.

Властивості

• Комутативність:

$f*g=g*f.$

• Асоціативність:

$f*(g*h)=(f*g)*h.$

• Лінійність (дистрибутивність щодо додавання і асоціативність добутку з скаляром):

$(f_1+f_2)*g=f_1*g+f_2*g,$

$f*(g_1+g_2)=f*g_1+f*g_2,$

$(af)*g=a(f*g)=f*(ag),\mathrm{\forall }a\in ℝ.$

• Правило диференціювання:

$\mathrm{D}(f*g)=\mathrm{D}f*g=f*\mathrm{D}g,$

де $\mathrm{D}f$ означає похідну функції $f$.

• Перетворення Лапласа:

$ℒ\{f(x)*g(x)\}=ℒ\{f(x)\}\cdot ℒ\{g(x)\}.$

• Перетворення Фур'є:

$𝔉[f*g]=𝔉[f]\cdot 𝔉[g],$

де $𝔉[]$ означає перетворення Фур'є функції.

Якщо $𝒲$ є матрицею дискретного перетворення Фур'є, то

$𝒲(C^{(1)}x\ast C^{(2)}y)=(𝒲C^{(1)}\bullet 𝒲C^{(2)})(x\otimes y)=𝒲C^{(1)}x\circ 𝒲C^{(2)}y$,

де $\bullet$ — символ торцевого добутку матриць, $\otimes$ означає добуток Кронекера, $\circ$ — символ добутку Адамара (тотожність є розвитком властивості відлікового скетча).

Застосування

Гаусове розмиття може використовуватись щоб отримати гладке монохромне зображення з півтонового друку

Згортки та пов'язані операції знаходять багато застосувань в науці, інженерії та математиці.

• В обробці зображень:

Згортка в обробці зображень використовується в багатьох фільтрах, наприклад для розмиття, чи виявлення контурів.

В фотографії, несфокусована фотографія є згорткою чіткого зображення з функцією лінзи. Фотографічний термін для цього поняття — Боке.

• В статистиці, зважене рухоме середнє є згорткою.
• Згорткові нейронні мережі застосовують багато каскадів ядер згорток для застосування в областях комп'ютерного зору та штучного інтелекту

Приклад програми

Нижче наведено приклад згортки, написаний на С++ :

/*
 * Розмір вихідної послідовності рівний M + N - 1 
 */
double * conv(double * x, int N, double * h, int M)
{
    double * result = new double[N + M - 1];
    memset(result, 0, sizeof(double) * (N + M - 1));

    for (int i = 0; i < N; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < M; ++j)
        {
            result[i + j] += x[i] * h[j];
        }
    }

    return result;
}

Див. також

• Зворотня згортка (математичний аналіз)

Література

• Шаблон:Колмогоров.Фомин
• Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.

Шаблон:Математика-доробити Шаблон:Інформатика-доробити Шаблон:Комп'ютерна графіка-доробити