Рухоме середнє

Приклад двох кривих рухомого середнього

Ковзне середнє або рухоме середнє (процес ковзного (рухомого) середнього; Шаблон:Lang-en) — один із інструментів аналізу випадкових процесів та часових рядів, що полягає в обчисленні середнього підмножини значень. Ковзне середнє не є скаляром, а є випадковим процесом. Розмір підмножини, від якої обчислюється середнє значення може бути як сталим, так і змінним. Ковзне середнє може мати вагові коефіцієнти, наприклад, для посилення впливу новіших даних у порівнянні зі старішими.

Ковзне середнє може обчислюватись від довільних даних, однак, найчастіше його використовують в аналізі часових рядів для згладжування раптових коливань та підкреслення довготермінових трендів або циклів. З математичної точки зору, ковзне середнє є різновидом згортки та схоже на фільтр низьких частот в обробці сигналів.

Просте рухоме середнє

Нехай $\{x_t\}$ — часовий ряд, рухоме середнє $\{y_t\}$ обчислюється як результат лінійного перетворення:

$y_t=\sum _{r=-q}^{+s}{a}_r{x}_{t+r},$

де сума ваг $a_r$дорівнює 1 ($\mathrm{\Sigma }{a}_r=1$).

Приклади

Прикладом простого симетричного згладжуючого фільтру є просте ковзне середнє, для якого $a_r=1/(2q+1)$ для $r=-q,\dots ,+q$ а згладжене значення $x_t$ обчислюється як:

$KC(x_t)=\frac{1}{2q+1}\sum _{r=-q}^{+q}{x}_{t+r}.$

Взагалі кажучи, просте ковзне середнє може бути не найкращим варіантом для обчислення трендів.

Іншим прикладом ковзного середнього є випадок, коли $\{a_r\}$ є членами розкриття $(1/2+1/2{)}^{2q}$. Тобто, при $q=1$, ваги $a_{-1}=a_1=\frac{1}{4}$, $a_0=\frac{1}{2}$.

Процес рухомого середнього

Нехай $\{Z_t\}$ — повністю випадковий процес з нульовим середнім та дисперсією ${\sigma }_Z^2$. Процес $\{X_t\}$ називається процесом рухомого середнього порядку $q$, якщо:

$X_t={\beta }_0{Z}_t+{\beta }_1{Z}_{t-1}+{\beta }_2{Z}_{t-2}+\dots +{\beta }_q{Z}_{t-q},$

де $\{{\beta }_i\}$ — константи.

Див. також

• Експоненційне згладжування
• Авторегресійне ковзне середнє (скорочено АРКС, Шаблон:Lang-en)

Література

• Шаблон:Cite book