Диференціальна алгебра

Диференціальними кільцями, полями і алгебрами називаються кільця, поля і алгебри, з заданим на них диференціюванням — унарною операцією, що задовольняє правилу добутку. Природний приклад диференціального поля — поле раціональних функцій однієї комплексної змінної $C(t)$, операції диференціювання відповідає диференціювання по $t$.

Диференціальні кільця

Диференціальне кільце — кільце R, на якому заданий ендоморфізм (диференціювання)

$\partial :R\to R$

що задовольняє правило

$\partial (r_1{r}_2)=(\partial r_1)r_2+r_1(\partial r_2)$

для будь-яких $r_1,r_2\in R$. В некомутативному кільці правило $d(xy)=xdy+ydx$ може не виконуватися. У безіндексній формі запису, якщо $M:R\times R\to R$ — множення в кільці, то правило добутку прийме вигляд

$\partial \circ M=M\circ (\partial \otimes \mathrm{id})+M\circ (\mathrm{id}\otimes \partial ),$

де $f\otimes g$ - відображення пари $(x,y)$ у пару $(f(x),g(y))$.

Властивості

• Якщо x₁, x₂, … ,x_n ∈ A тоді виконується:

$\partial (x_1{x}_2\cdots x_n)=\sum _i{x}_1\cdots x_{i-1}\partial (x_i)x_{i+1}\cdots x_n.$

• У випадку комутативного кільця з попереднього випливає $\partial (x^n)=n{x}^{n-1}\partial x$
• Для довільного елемента a, що має двосторонній обернений елемент a^-1 справедлива рівність:

$\partial (a^{-1})=a^{-1}\partial a{a}^{-1}$. Для комутативного випадку вона перепишеться у звичнішому виді: $\partial (a^{-1})=a^{-2}\partial a$.

• Якщо кільце має одиницю то $\partial 1=0$.
• Нехай ${\partial }^{2}a=\partial (\partial a),$ ${\partial }^{3}a=\partial ({\partial }^{2}a),$ і т. д. Тоді:

${\partial }^n(ab)=\sum _{i=0}^n{C}_n^i{\partial }^{n-i}a{\partial }^{i}b$

• Ідеал I кільця R називається диференціальним, якщо з $a\in I$ випливає $\partial a\in I$. За допомогою диференціального кільця можна задати диференціювання на відповідному фактор-кільцю. Гомоморфізм $h:R\to R^{\text{'}}$ називається диференціальним, якщо для довільного $r\in R$ виконується рівність $h(\partial r)={\partial }^{\text{'}}(hr)$, де $\partial$${\partial }^{\text{'}}$ — диференціювання відповідно в кільцях R і R^'.

Ядро довільного диференціального гомоморфізму є диференціальний ідеал. Він є диференціально ізоморфним до фактор-кільця по даному ідеалу.

Дані властивості справедливі і для диференціальних полів та алгебр.

Диференціальні поля

Диференціальне поле — поле K, з операцією диференціювання. Диференціювання повинне задовольняти правилу Лейбніца у формі

$\partial (uv)=u\partial v+v\partial u$

оскільки множення в полі комутативне. Диференціювання також повинне бути дистрибутивно щодо додавання:

$\partial (u+v)=\partial u+\partial v$

Полем констант диференціального поля $K$ називається $k=\{u\in K|\partial (u)=0\}$.

Диференціальні алгебри

Диференціальною алгеброю над полем K називається K-алгебра A, в якій диференціювання комутують з полем. Тобто для будь-яких $k\in K$ і $x\in A$:

$\partial (kx)=k\partial x$

У безіндексній формі запису, якщо $\eta :K\to A$ - морфізм кілець, що визначає множення на скаляри в алгебрі, то

$\partial \circ M\circ (\eta \times \mathrm{Id})=M\circ (\eta \times \partial )$

Як і в решті випадків, диференціювання повинне задовольняти правилу Лейбніца щодо множення в алгебрі і бути лінійним щодо додавання. Тобто для будь-яких $a,b\in K$ і $x,y\in A$:

$\partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y)$

і

$\partial (ax+by)=a\partial x+b\partial y$

Диференціювання в алгебрі Лі

Диференціювання алгебри Лі $𝔤$ — лінійне відображення $D:𝔤\to 𝔤$, що задовольняє правилу Лейбніца:

$D([a,b])=[a,D(b)]+[D(a),b]$

Для будь-якого $a\in 𝔤,\mathrm{ad}(a)$ — диференціювання на $𝔤$, що виходить з тотожності Якобі. Будь-яке таке диференціювання називається внутрішнім.

Приклади

Якщо $A$ — алгебра з одиницею, то $\partial (1)=0$, оскільки $\partial (1)=\partial (1\times 1)=\partial (1)+\partial (1)$. Наприклад, в диференціальних полях характеристики 0 раціональні елементи утворюють підполе в полі констант.

Будь-яке поле можна розглядати як поле констант.

У полі $\mathbb{Q}(t)$ існує природна структура диференціального поля, що визначається рівністю $\partial (t)=1$: з аксіом поля і диференціювання випливає, що це буде диференціювання по $t$. Наприклад, з комутативності множення і правила Лейбніца випливає, що

$\partial (u^2)=u\partial (u)+\partial (u)u=2u\partial (u)$

У диференціальному полі $\mathbb{Q}(t)$ немає розв'язку диференціального рівняння $\partial (u)=u$, але можна розширити його до поля, що містить функцію $e^t$, що має розв'язок цього рівняння.

Диференціальне поле, що має розв'язок для будь-якої системи диференціальних рівнянь, називається диференціально замкнутим полем. Такі поля існують, хоча вони і не виникають природним чином в алгебрі або геометрії. Будь-яке диференціальне поле (обмеженої потужності) вкладається в більше диференціально замкнуте поле. Диференціальні поля вивчаються в диференціальної теорії Галуа.

Природні приклади диференціювань — часткові похідні, похідні Лі, похідна Піншерле і комутатор щодо заданого елементу алгебри. Всі ці приклади тісно пов'язані з загальною ідеєю диференціювання.

Кільце псевдодиференціальних операторів

Диференціальні кільця і диференціальна алгебра часто вивчаються за допомогою кільця псевдодиференціальних операторів над ними:

$R(({\xi }^{-1}))=\{\sum _{n<\mathrm{\infty }}{r}_n{\xi }^n|r_n\in R\}.$

Множення в цьому кільці визначається як

$(r{\xi }^m)(s{\xi }^n)=\sum _{k=0}^{m}r({\partial }^{k}s)(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}){\xi }^{m+n-k}.$

Тут $(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})$ — біноміальний коефіцієнт. Відзначимо тотожність

${\xi }^{-1}r=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n({\partial }^{n}r){\xi }^{-1-n}$

наступне

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{n})=(-1{)}^n$

і

$r{\xi }^{-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\xi }^{-1-n}({\partial }^{n}r).$

Градуйоване диференціювання

Нехай $A$ — градуйована алгебра $D$ — однорідне лінійне відображення $d=\left|D\right|$. $D$ називається однорідною похідною, якщо $D(ab)=D(a)b+{ϵ}^{|a||D|}aD(b)$, $ϵ=\pm 1$ при дії на однорідні елементи $A$. Градуированная похідна — це сума однорідних похідних з однаковим $ϵ$.

Якщо $ϵ=1$, визначення збігається із звичайним диференціюванням.

Якщо $ϵ=-1$, то $D(ab)=D(a)b+(-1{)}^{|a|}aD(b)$, для непарних $\left|D\right|$. Такі ендоморфізми називаються антипохідними.

Приклади антипохідних — зовнішня і внутрішня похідна диференціальних форм.

Градуйовані похідні супералгебр (тобто ${\mathbb{Z}}_2$-градуйованих алгебри) часто називаються суперпохідними.

Література

• Каплански И. Введение в дифференциальную алгебру ИЛ, 1959 84 p.
• Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
• E. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973
• D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlag (1996).
• A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994