Внутрішня похідна

У математиці внутрішньою похідною називається диференціювання порядку −1 на зовнішній алгебрі диференціальних форм на диференційовному многовиді. Внутрішня похідна залежить від векторного поля X і позначається ι_Xω або Шаблон:Nowrap.

Означення

Внутрішня похідна для векторного поля X на многовиді M є оператором

${\iota }_X:{\mathrm{\Omega }}^p(M)\to {\mathrm{\Omega }}^{p-1}(M)$

для якого образом диференціальної p-форми ω є (p−1)-форма ι_Xω для якої

$({\iota }_X\omega )(X_1,\dots ,X_{p-1})=\omega (X,X_1,\dots ,X_{p-1})$

для всіх векторних полів X₁, ..., X_p−1.

Хоча внутрішня похідна переважно застосовується для диференціальних форм, аналогічне означення також можна дати для коваріантних і змішаних тензорів.

Властивості

• Внутрішня похідна є єдиним диференціюванням порядку −1 на зовнішній алгебрі для якого для всіх 1-форм α

${\iota }_X\alpha =\alpha (X).$

• Антисиметричність. Для довільної диференціальної форми ω (для інших типів тензорів властивість у загальному випадку невірна):

${\iota }_X{\iota }_Y\omega =-{\iota }_Y\circ {\iota }_X\omega$

Для p-форми ω за означенням

${\iota }_X\circ {\iota }_Y\omega (X_1,\dots ,X_{p-2})=\omega (X,Y,\dots ,X_{p-2})=-\omega (Y,X,\dots ,X_{p-2})=-{\iota }_Y\circ {\iota }_X\omega (X_1,\dots ,X_{p-2}).$

• На множині диференціальних форм ${\iota }_X\circ {\iota }_X=0$ подібно до того як для зовнішньої похідної Шаблон:Nowrap.

Для p-форми ω за означенням

${\iota }_X\circ {\iota }_X\omega (X_1,\dots ,X_{p-2})=\omega (X,X,\dots ,X_{p-2})=0.$

• Із лінійності тензорів випливає, що для довільних векторних полів X і Y і диференційовної функції f на многовиді:

${\iota }_{X+Y}={\iota }_X+{\iota }_Y$ і ${\iota }_{fX}=f{\iota }_X.$

• Якщо β є p-формою, а γ — довільною диференціальною формою, то

${\iota }_X(\beta \wedge \gamma )=({\iota }_X\beta )\wedge \gamma +(-1{)}^p\beta \wedge ({\iota }_X\gamma ).$

Тобто внутрішня похідна задовольняє градуйоване правило Лейбніца.

Нехай $\gamma$ є диференціальною q-формою. Тоді $\beta \wedge \gamma$ буде (p+q)-формою, а ${\iota }_X(\beta \wedge \gamma )$ — (p+q-1)-формою. Нехай X₂, ..., X_{p + q} є довільними векторними полями і позначатимемо також X = X₁.

Тоді ${\iota }_X(\beta \wedge \gamma )(X_2,\dots ,X_{p+q})=(\beta \wedge \gamma )(X_1,\dots ,X_{p+q}).$

За означенням зовнішнього добутку можна записати:

$(\beta \wedge \gamma )(X_1,\dots ,X_{p+q})=\sum _{\sigma }\epsilon (\sigma )\cdot \beta (X_{\sigma (1)},\dots ,X_{\sigma (p)})\cdot \gamma (X_{\sigma (p+1)},\dots ,X_{\sigma (p+q)})$,

де $\sigma$ пробігає множину таких перестановок, що $\sigma (1)<\sigma (2)<\dots <\sigma (p)$ і $\sigma (p+1)<\sigma (p+2)<\dots <\sigma (p+q),$ а $\epsilon (\sigma )$ позначає знак перестановки.

Зрозуміло, що для кожної такої $\sigma$ або $\sigma (1)=1$ або $\sigma (p+1)=1$ і загальна сума є рівною сумі для перестановок першого типу і перестановок другого типу. Позначимо ці типи перестановок $A_1$ і $A_2.$ Якщо для кожної $\sigma$ позначити як ${\sigma }^{\prime }$ відповідну перестановку чисел 2, ..., p + q одержану вилученням числа 1, то тоді також ${\sigma }^{\prime }(1)<{\sigma }^{\prime }(2)<\dots <{\sigma }^{\prime }(p-1)$ і ${\sigma }^{\prime }(p)<{\sigma }^{\prime }(p+1)<\dots <{\sigma }^{\prime }(p+q-1)$ і для типу $A_1$ знаки перестанок ${\sigma }^{\prime }$ і $\sigma$ є однаковими, а для типу $A_2$ маємо $\epsilon (\sigma )=(-1{)}^p\epsilon (\sigma ).$

Із цими позначеннями:

$\sum _{\sigma \in A_1}\epsilon (\sigma )\cdot \beta (X_1,\dots ,X_{\sigma (p)})\cdot \gamma (X_{\sigma (p+1)},\dots ,X_{\sigma (p+q)})=\sum _{\sigma \in A_1}\epsilon (\sigma )\cdot ({\iota }_X\beta )(X_{{\sigma }^{\prime }(1)},\dots ,X_{{\sigma }^{\prime }(p-1)})\cdot \gamma (X_{{\sigma }^{\prime }(p)},\dots ,X_{{\sigma }^{\prime }(p+q-1)})=({\iota }_X\beta )\wedge \gamma (X_2,\dots ,X_{p+q})$

$\sum _{\sigma \in A_2}\epsilon (\sigma )\cdot \beta (X_{\sigma (1)},\dots ,X_{\sigma (p)})\cdot \gamma (X_1,\dots ,X_{\sigma (p+q)})=\sum _{\sigma \in A_2}(-1{)}^p\cdot \epsilon ({\sigma }^{\prime })\cdot ({\iota }_X\beta )(X_{{\sigma }^{\prime }(1)},\dots ,X_{{\sigma }^{\prime }(p-1)})\cdot ({\iota }_X\gamma )(X_{{\sigma }^{\prime }(p)},\dots ,X_{{\sigma }^{\prime }(p+q-1)})=(-1{)}^p\beta \wedge ({\iota }_X\gamma )(X_2,\dots ,X_{p+q})$

Загальна сума дає необхідний результат.

• Для внутрішньої похідної, похідної Лі і будь-яких векторних полів $X$, $Y$ на множині коваріантних тензорів задовольняється рівність

${\iota }_{[X,Y]}={ℒ}_X\circ {\iota }_Y-{\iota }_Y\circ {ℒ}_X$

Нехай $\alpha$ є p-коваріантним тензором. Тоді для довільних векторних полів $X_1,\dots ,X_{p-1}$ за означенням:

${ℒ}_X\circ {\iota }_Y(\alpha )(X_1,\dots ,X_{p-1})=X(\alpha (Y,X_1,\dots ,X_{p-1}))-\sum _{i=1}^{p-1}\alpha (Y,X_1,\dots ,[X,X_i],\dots ,X_{p-1})$

З іншого боку

${\iota }_Y\circ {ℒ}_X(\alpha )(X_1,\dots ,X_{p-1})={ℒ}_X\alpha (Y,X_1,\dots ,X_{p-1})=X(\alpha (Y,X_1,\dots ,X_{p-1}))-\alpha ([X,Y],X_1,\dots ,X_{p-1})-\sum _{i=1}^{p-1}\alpha (X_1,\dots ,[X,X_i],\dots ,X_{p-1}).$

Остаточно

$({ℒ}_X\circ {\iota }_Y-{\iota }_Y\circ {ℒ}_X)(\alpha )(X_1,\dots ,X_{p-1})=\alpha ([X,Y],X_1,\dots ,X_{p-1})={\iota }_{[X,Y]}\alpha (X_1,\dots ,X_{p-1}).$

• Внутрішня похідна пов'язана із зовнішньою похідною і похідною Лі для диференціальних форм формулою Картана:

${ℒ}_X\omega =d({\iota }_X\omega )+{\iota }_{X}d\omega =\{d,{\iota }_X\}\omega .$

Для випадку диференційовних функцій ${ℒ}_{X}f=Xf,$ а також ${\iota }_{X}f=0$ і ${\iota }_{X}df=df(X)=Xf,$ що доводить необхідну рівність.

Для диференційовної p-форми (p > 0) $\omega$ і довільних векторних полів $X_1,\dots ,X_p$ згідно означень:

$\begin{array}{ccc}({\iota }_{X}d\omega )(X_1,\dots ,X_p)=d\alpha (X,X_1,\dots ,X_p)& =& X(\omega (X_1,\dots ,X_p))+\sum _{i=1}^k(-1{)}^i{X}_i(\omega (X,\dots ,{\hat{X}}_i,\dots ,X_k))\\ & +& \sum _{j=1}^p(-1{)}^j\omega ([X,X_j],X_1,\dots ,{\hat{X}}_j,\dots ,X_p)+\sum _{1\le i<j\le p}(-1{)}^{i+j}\omega ([X_i,X_j],X,\dots ,{\hat{X}}_i,\dots ,{\hat{X}}_j,\dots ,X_k)\end{array}$

З іншого боку:

$\begin{array}{ccc}(d{\iota }_X\omega )(X_1,\dots ,X_p)& =& \sum _{i=1}^p(-1{)}^i{X}_i(\omega (X,\dots ,{\hat{X}}_i,\dots ,X_p))\\ & +& \sum _{1\le i<j\le p}(-1{)}^{i+j}\omega ([X_i,X_j],X,[X,Y],X_1,\dots ,{\hat{X}}_i,\dots ,{\hat{X}}_j,\dots ,X_p)\end{array}.$

Додаючи ці вирази одержуємо:

$({\iota }_{X}d+d{\iota }_X)\omega (X_1,\dots ,X_p)=X(\omega (X_1,\dots ,X_p))+\sum _{j=1}^p(-1{)}^j\omega ([X,X_j],X_1,\dots ,{\hat{X}}_j,\dots ,X_p)={ℒ}_X\omega (X_1,\dots ,X_p)$

Див. також

• Диференціальна форма
• Зовнішня похідна
• Похідна Лі

Література

• Шаблон:Citation