Диферентний ідеал

У алгебраїчній теорії чисел і абстрактній алгебрі диферентним ідеалом або диферентою називається деякий ідеал пов'язаний із розширенням дедекіндових кілець. Диферентний ідеал пов'язаний із поняттями дискримінанта і норми ідеалу і є важливим, зокрема для дослідження розгалуження простих ідеалів.

Означення

Нехай A — дедекіндове кільце, K — його поле часток, L — скінченне сепарабельне розширення поля K, B — ціле замикання кільця A в L. Нехай L — деяка адитивна підгрупа поля E.

Для неї можна ввести доповнюючу множину L' (щодо сліду) як сукупність всіх тих $x\in E$, для яких

$L^{\prime }=\{x\in E\mid {\mathrm{Tr}}_{E/K}(xL)\subset A\}.$

L' є адитивною підгрупою у E. Якщо $L\subset M$ — дві адитивні підгрупи, то $M^{\prime }\subset L^{\prime }$. Якщо Al = L то також AL' = L'.

Зокрема якщо L = B то B' є дробовим ідеалом кільця B. Оскільки B є дедекіндовим кільцем для дробового ідеалу B' існує обернений дробовий ідеал $B{\text{'}}^{-1}$ у групі дробових ідеалів.

Ідеал ${\delta }_{E/K}={\delta }_{B/A}=B{\text{'}}^{-1}$ називається диферентним ідеалом або диферентою розширення B/A. Диферентний ідеал є звичайним ідеалом кільця B.

У алгебричній теорії чисел цей ідеал також називається відносним диферентним ідеалом. Абсолютним диферентним ідеалом числового поля K називається ${\delta }_{K/\mathbb{Q}}$. цьому випадку використовується позначення ${\delta }_K$.

Якщо $𝔪$ — дробовий ідеал кільця B то $𝔪$ теж є адитивною підгрупою і диферентним ідеалом цього дробового ідеалу називається дробовий ідеал ${\delta }_{E/K}(𝔪)=({𝔪}^{\prime }{)}^{-1}$.

Приклад

Нехай $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$, де $d\in \mathbb{Z}$ — число, вільне від квадратів. Тоді для абсолютного диферентного ідеала:

${\delta }_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}\{\begin{array}{cc}(2\sqrt{d}),& d\equiv ̸1mod4\\ (\sqrt{d}),& d\equiv 1mod4\end{array}$

Властивості

• Диферентний ідеал розширення B/A є звичайним ідеалом кільця B. Диферента довільного дробового ідеалу теж є дробовим ідеалом.
• Якщо при тих же позначеннях, що і вище ${\delta }_{E/K}$ — відносний диферентний ідеал і ${\delta }_{E/K}(𝔪)$ — диферентний ідеал дробового ідеалу $𝔪$ то ${\delta }_{E/K}(𝔪)=𝔪{\delta }_{E/K}$.
• Диферентний ідеал породжується елементами виду $F^{\prime }(x)$, де $x\in B$ і $F^{\prime }(x)$ — похідна мінімального многочлена елемента $x$ над полем K. Зокрема $B=A[x]$ тоді і тільки тоді коли ${\delta }_{E/K}$ є головним ідеалом породженим елементом $F^{\prime }(x)$.
• Якщо $D/E/K$ є скінченними сепарабельними розширеннями з властивостями, як і вище, то

${\delta }_{D/K}={\delta }_{D/E}{\delta }_{E/K}$

• Нехай S — мультиплікативна система у кільці A. Тоді ${\delta }_{S^{-1}B/S^{-1}A}=S^{-1}{\delta }_{B/A}$, де $S^{-1}(\cdot )$ позначає локалізацію кільця за множиною S.
• $D_{B/A}=N_{B/A}({\delta }_{B/A})$, де $D_{B/A}$ позначає відносний дискримінант розширення B/A, а $N_{B/A}(\cdot )$ — норму ідеалу.
• У випадку числових полів клас відносного диферента завжди є квадратом у групі класів ідеалів. У загальному випадку це не так. Наприклад Фреліх і Тейт знайшли приклад скінченного сеперабельного розширення функціональних полів однієї змінної для якого відносний диферент не є квадратом.
• При тих же позначеннях, що і вище і для кожного простого ідеалу $𝔭$ кільця B позначимо $B_{v(𝔭)}$ — поповнення кільця B щодо нормування за ідеалом $𝔭$. У цьому випадку $𝔮=𝔭\cap A$ є простим ідеалом кільця A і поповнення за цим ідеалом позначимо $A_{v(𝔮)}$. Тоді є справедливою рівність:

${\delta }_{E/F}=\prod _{𝔭}{\delta }_{B_{v(𝔭)}/A_{v(𝔮)}},$

Добуток у правій частині має зміст оскільки для всіх простих ідеалів окрім скінченної кількості ${\delta }_{B_{v(𝔭)}/A_{v(𝔮)}}=B$.

Диферент і розгалуження простих ідеалів

Нехай A — дедекіндове кільце, K — його поле часток, L — скінченне сепарабельне розширення поля K, B — ціле замикання кільця A в L. Припустимо також, що для будь-якого простого ідеалу $𝔅$ кільця B поле лишків $B/𝔅$ є досконалим.

Нехай тепер $𝔭$ — простий ідеал кільця A. Тоді $𝔭B=\prod {𝔅}_i^{e_i}$, де ${𝔅}_i$ — прості ідеали кільця B, що містять $𝔭$ (їх кількість є скінченною), а $e_i$ називаються індексами розгалуження ідеалів ${𝔅}_i$. Якщо $e_i>1$ то кажуть, що відповідний ідеал розгалужується.

Розгалуження є тісно пов'язані із диферентами. А саме простий ідеал ${𝔅}_i$ розгалужується тоді і тільки тоді коли він ділить диферент ${\delta }_{B/A}$. До того ж якщо характеристика поля $B/{𝔅}_i$ не ділить $e_i$, то найбільшим степенем ${𝔅}_i$ на який ділиться ${\delta }_{B/A}$ є $e_i-1$. В іншому випадку ${\delta }_{B/A}$ ділиться на вищий степінь ідеалу ${𝔅}_i$.

Див. також

• Дискримінант (теорія полів)
• Норма ідеалу

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation