Гіпотези Вейля

Гіпотези Вейля - математичні гіпотези про локальні дзета-функції проєктивних многовидів над скінченними полями.

Гіпотези Вейля стверджують, що локальні дзета-функції мають бути раціональними, задовольняти функціональному рівнянню, а їх нулі лежати на критичних прямих. Останні 2 гіпотези аналогічні гіпотезі Рімана для дзета-функції Рімана.

Гіпотези в загальному вигляді сформулював Андре Вейль 1949 року, раціональність довів Шаблон:Iw 1960 року, функціональне рівняння — Олександр Гротендік 1965 року, аналог гіпотези Рімана — П'єр Делінь 1974 року.

Формулювання гіпотез Вейля

Нехай $X$ — неособливий $n$-вимірний проєктивний алгебричний многовид над скінченним полем ${𝔽}_q$. Його конгруенц-дзета-функція визначається як

$Z(X,T)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{N_k}{k}{T}^k\right),$

де $N_k$ — число точок $X$ над $k$-вимірним розширенням ${𝔽}_{q^k}$ поля ${𝔽}_q$. Локальна дзета-функція $\zeta (X,s)=Z(X,q^{-s})$.

Гіпотези Вейля стверджують таке:

1. (Раціональність) $Z(X,T)$ є раціональною функцією $T$. Точніше, $Z(X,T)$ можна подати у вигляді скінченного добутку

$Z(X,T)=\prod _{i=0}^{2n}{P}_i(T{)}^{(-1{)}^{i+1}}=\frac{P_1(T)\cdot \dots \cdot P_{2n-1}(T)}{P_0(T)\cdot \dots \cdot P_{2n}(T)},$

де кожен $P_i(T)$ — многочлен з цілими коефіцієнтами. Причому $P_0(T)=1-T,P_{2n}(T)=1-q^{n}T$, а для всіх $i:1⩽i⩽2n-1$ $P_i(T)=\prod _j(1-{\alpha }_{ij}T)$ над $ℂ$, а ${\alpha }_{ij}$ — деякі цілі алгебричні числа.

2. (Функціональне рівняння і двоїстість Пуанкаре) Дзета-функція задовольняє співвідношенню

$\zeta (X,n-s)=\pm q^{\frac{nE}{2}-Es}\zeta (X,s)$

або, еквівалентно,

$Z(X,\frac{1}{q^{n}T})=\pm q^{nE/2}{T}^{E}Z(X,T),$

де $E$ — ейлерова характеристика $X$ (індекс самоперетину діагоналі $\mathrm{\Delta }(X)$ в $X\times X$).

3. (Гіпотеза Рімана) для всіх $i,j$ $|{\alpha }_i|=q^{i/2}$. Звідси випливає, що всі нулі $P_k(q^{-s})$ лежать на «критичній прямій» $\mathrm{Re}s=k/2$.

4. (Числа Бетті) Якщо $X$ є хорошою редукцією за модулем $p$ неособливого проєктивного многовиду $Y$, визначеного над деяким числовим полем, вкладеним у поле комплексних чисел, то степінь $\mathrm{deg}{P}_i={\beta }_i(Y)$, де ${\beta }_i$ — число Бетті простору комплексних точок $Y$.

Література

• Шаблон:Книга