Глобальна розмірність

У абстрактній алгебрі, глобальною розмірністю і слабкою глобальною розмірністю кільця R називаються означення розмірності, що загалом відрізняються від його розмірності Круля і визначаються з проективних, ін'єктивних чи плоских резольвент модулів над R. Розмірність Круля (відповідно глобальна, слабка) кільця R певною мірою вказує наскільки кільце відрізняється від кілець Артіна (відповідно напівпростих кілець, кілець регулярних за фон Нейманом). Ці розмірності є рівними нулю якщо і тільки якщо R є кільцем Артіна (напівпростим кільцем, кільцем регулярним за фон Нейманом). Ці три розмірності збігаються, якщо R є регулярним, зокрема якщо його гомологічна розмірність є скінченною ^[1]

Резольвенти

Нехай $M$ — модуль над кільцем R. Точна послідовність $⟶ . . . ⟶ E_{n} ⟶ . . . ⟶ E_{0} ⟶ M ⟶ 0$ називається лівою резольвентою модуля $M$ . Якщо для кожного $i$ , модуль $E_{i}$ є проективним (відповідно, плоским, вільним), то ця резольвента називається проективною (відповідно плоскою, вільною). Якщо $E_{n} \neq 0$ і $E_{i} = 0$ для всіх $i > n$ , ця резольвента називається резольвентою довжини $n$ . Якщо такого цілого числа $n$ немає, резольвента має нескінченну довжину.
Точна послідовність $⟵ . . . ⟵ E^{n} ⟵ . . . ⟵ E^{0} ⟵ M ⟵ 0$ називається правою резольвентою модуля $M$ . Якщо для всіх $i$ , модуль $E^{i}$ є ін'єктивним, ця резольвента називається ін'єктивною. Довжина ін'єктивної резольвенти визначається подібно до проективної.
Для всіх R-модулів $M$ існують вільні, а отже, проективні і плоскі резольвенти. Також для всіх R-модулів $M$ існують ін'єктивні резольвенти ^[2].

Розмірність модуля

Позначимо $\overline{ℤ} = ℤ \cup {- \infty, + \infty}$ і вважатимемо, що для всіх $n \in ℤ$ , $- \infty < n < + \infty$ , $- \infty + n = - \infty$ і $+ \infty + n = + \infty$ .

Нехай $M$ — лівий модуль над R. Його проективною (ін'єктивною, плоскою) розмірністю, що позначається $p d_{R} (M)$ (відповідно $i d_{R} (M), f d_{R} (M)$ називається точна нижня грань в $\overline{ℤ}$ довжин проективних (відповідно, ін'єктивних, плоских) резольвент для $M$ . Приймається також $p d_{R} (0) = i d_{R} (0) = d f_{R} (0) = - \infty$ .

Можна дати еквівалентні означення (зокрема за допомогою функтора Ext):

Лівий R-модуль $M$ має проективну розмірність n тоді і тільки тоді коли n є максимальним числом для якого $E x t_{R}^{n} (M, N) \neq 0$ для деякого лівого R-модуля $N;$

Лівий R-модуль $M$ має проективну розмірність n тоді і тільки тоді коли n є максимальним числом для якого $E x t_{R}^{n} (M, N) \neq 0$ для деякого циклічного лівого R-модуля $N;$

Лівий R-модуль $M$ має проективну розмірність n тоді і тільки тоді коли n є максимальним числом для якого $E x t_{R}^{n} (M, N) \neq 0$ для деякого скінченнопородженого лівого R-модуля $N;$

$E x t_{R}^{n} (M, N)$ є точним справа функтором від другого аргумента.

Якщо $m ⩾ n,$ послідовність модулів і гомоморфізмів

0 \to X_{m} \to X_{m - 1} \to \dots \to X_{0} \to M \to 0

є точною послідовністю і всі модулі

X_{i}, 0 \leq i < m

є проективними, то і модуль

X_{n}

є проективним.

Для комутативних нетерових кілець проективна розмірність скінченномородженого модуля є локальною характеристикою, а саме виконується рівність:

p d_{R} (M) = \sup_{𝔪 \in mspec (R)} p d_{R_{𝔪}} (M_{𝔪}),

де $mspec (R)$ позначає множину максимальних ідеалів, а $R_{𝔪}, M_{𝔪}$ — локалізацію кільця і модуля за ідеалом

За допомогою двоїстості такі ж означення можна дати і для ін'єктивної розмірності.

Розмірність кільця

Глобальна розмірність

Нехай $_{R} M o d$ позначає категорію лівих R-модулів. Тоді дві такі величини є рівними^[3] :

$\sup {p d_{R} (M) : M \in_{R} M o d}$
$\sup {i d_{R} (M) : M \in_{R} M o d}$

Їх спільне значення називається глобальною лівою розмірністю кільця R і позначається як $l g d (R)$ . Ця величина є верхньою межею в $\overline{ℤ}$ величин $n$ , для яких є два ліві R-модулі $M$ і $N$ для яких $E x t_{R}^{n} (M, N) \neq 0$ (див. статтю Функтор Ext)

Так само можна визначити глобальну праву розмірність кільця R, яка позначається $r g d (R)$ .

Справедливими також є рівності:

$l g d (R) = \sup_{I} p d_{R} R / I,$ де I є усіма лівими ідеалами кільця R.

$r g d (R) = \sup_{I} p d_{R} R / I,$ де I є усіма правими ідеалами кільця R.

Коли $l g d (R)$ = $r g d (R)$ (зокрема у випадку коли кільце R є комутативним), їхня спільна величина називається глобальною розмірністю кільця R і позначається $g d (R)$ ^[4].

Поняття глобальної розмірності поширюється на випадок будь-якої абелевої категорії $ℭ$ так, що якщо ${ℭ =}_{R} M o d$ (відповідно, $ℭ = M o d_{R}$ ), ця розмірність $g d (ℭ)$ є рівною $l g d (R)$ (відповідно $r g d (R)$ ), визначеними вище ^[5]

Слабка розмірність

Дві такі величини є рівними ^[6] :

$\sup {f d_{R} (M) : M \in_{R} M o d},$
$\sup {f d_{R} (M) : M \in M o d_{R}} .$

Їх спільне значення називається слабкою глобальною розмірністю кільця R і позначається $w g l d (R)$ . Ця величина є верхньою межею в $\overline{ℤ}$ чисел $n$ , для яких існує правий R-модуль $M$ і лівий R-модуль $N$ , для яких $T o r_{n}^{R} (M, N) \neq 0$ (див. статтю Функтор Tor).

Властивості і приклади.

Модуль $ℚ$ раціональних чисел над кільцем $ℤ$ цілих чисел має плоску розмірність 0 і проективну розмірність 1.

The module $ℚ / ℤ$ над кільцем $ℤ$ має слабку розмірність 1 і ін'єктивну розмірність 0.

Модуль $ℤ$ над кільцем $ℤ$ має слабку розмірність 0 і ін'єктивну розмірність 1.

Нехай $0 \to M^{'} \to M \to M^{″} \to 0$ є точною послідовністю лівих модулів над R і $d = p d_{R} (M), d^{'} = p d_{R} (M^{'}), d^{″} = p d_{R} (M^{″}) .$ Тоді:

d^{'} \leq \max (d, d^{″} - 1), d^{″} \leq \max (d, d^{'} + 1), d \leq \max (d^{'}, d^{″}) .

Зокрема якщо

d < \max (d^{'}, d^{″}),

d^{″} = d^{'} + 1 .

Для того щоб модуль $M$ був проективним (ін'єктивним, плоским) необхідно і достатньо, щоб $p d_{R} (M) \leq 0$ (відповідно $i d_{R} (M) \leq 0, f d_{R} (M) \leq 0$ ).

Нехай $R \to S$ — гомоморфізм кілець. Тоді будь-який лівий S-модуль M можна розглядати як лівий R-модуль. При цьому:

p d_{R} (M) \leq p d_{S} (M) + p d_{R} (S);

f d_{R} (M) \leq f d_{S} (M) + f d_{R} (_{R} S);

i d_{R} (M) \leq i d_{S} (M) + i d_{R} (S_{R}) .

Добуток нескінченної кількості полів має слабку розмірність 0 але ненульову глобальну розмірність.

$w g l d (R) \leq l g d (R) .$ Якщо R є лівим нетеровим кільцем, то виконується рівність.
Якщо R є нетеровим, то $w g l d (R) = l g d (R) = r g d (R) = g d (R)$ .
Кільце матриць виду $[\begin{matrix} ℤ & ℚ \\ 0 & ℚ \end{matrix}]$ має праву глобальну розмірність рівну 1, ліву глобальну розмірність рівну 2 і слабку розмірність рівну 1. Дане кільце є нетеровим справа але не зліва.
Нехай $A$ є комутативним кільцем; тоді $g d (A [X]) = g d (A) + 1$ (теорема Гілберта про сизигії)). Отже, якщо $K$ є полем (або, у більш загальному випадку, напівпростим комутативним кільцем), $g d (K [X_{1}, . . ., X_{n}]) = n$ ^[7].
Нехай R — кільце головних ідеалів, що не є полем. Тоді $g d (R) = 1 .$
Нехай R — комутативне кільце, $S \subset R$ — мультиплікативна множина, яка не містить дільників нуля і $T$ — локалізація $S^{- 1} R$ . Тоді $g d (T) \leq g d (R)$ і $w g l d (T) \leq w g l d (R)$ ^[8].
Область цілісності R є кільцем Прюфера, якщо і тільки якщо $w g l d (R) \leq 1$ ^[9].

Регулярні кільця

Кільце R називається лівим регулярним , якщо для кожного лівого скінченнопородженого R-модуля існує скінченна проективна резольвента. Подібним чином можна дати означення правого регулярного кільця. Кільце називається регулярним якщо воно є регулярним справа і зліва. ^[10]Шаблон:,^[11] Для комутативних нетерових кілець це означення є еквівалентним стандартним.
Якщо $l g d (R) < + \infty$ , то R є очевидно лівим регулярним але Нагата дав у 1962 році приклад комутативного нетерового регулярного кільця з нескінченною глобальної розмірністю (і, відповідно, нескінченною розмірністю Круля) ^[12].
Якщо R є регулярним комутативним кільцем, то всі локалізації $T = S^{- 1} R$ R є регулярними.
Якщо R є лівим регулярним нетеровим кільцем, то таким є і кільце $R [X_{1}, . . ., X_{n}]$ (теорема Свана)^[13].

Примітки

Шаблон:Reflist

Див. також

Література

↑ Шаблон:Harvsp, 7.1.9; Шаблон:Harvsp, (5.94), (5.95).
↑ Шаблон:Harvsp, Prop. 6.2 і 6.4
↑ Шаблон:Harvsp, 7.1.8.
↑ Шаблон:Harvsp, 7.1.11
↑ Шаблон:Harvsp.
↑ Шаблон:Harvsp, §7.1.
↑ Шаблон:Harvsp, §8, Thm. 1.
↑ Шаблон:Harvsp
↑ Шаблон:Harvsp, Example 8.20.
↑ Шаблон:Harvsp.
↑ Шаблон:Harvsp
↑ Шаблон:Harvsp, (5.94) ; Шаблон:Harvsp, Appendix.
↑ Шаблон:Harvsp, 7.7.3, 7.7.5.

[1] Шаблон:Harvsp, 7.1.9; Шаблон:Harvsp, (5.94), (5.95).

[2] Шаблон:Harvsp, Prop. 6.2 і 6.4

[robson-3] Шаблон:Harvsp, 7.1.8.

[4] Шаблон:Harvsp, 7.1.11

[5] Шаблон:Harvsp.

[6] Шаблон:Harvsp, §7.1.

[7] Шаблон:Harvsp, §8, Thm. 1.

[8] Шаблон:Harvsp

[9] Шаблон:Harvsp, Example 8.20.

[10] Шаблон:Harvsp.

[11] Шаблон:Harvsp

[12] Шаблон:Harvsp, (5.94) ; Шаблон:Harvsp, Appendix.

[13] Шаблон:Harvsp, 7.7.3, 7.7.5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

Глобальна розмірність

Зміст

Резольвенти

Розмірність модуля

Розмірність кільця

Глобальна розмірність

Слабка розмірність

Властивості і приклади.

Регулярні кільця

Примітки

Див. також

Література

Навігаційне меню

Глобальна розмірність

Резольвенти

Розмірність модуля

Розмірність кільця

Глобальна розмірність

Слабка розмірність

Властивості і приклади.

Регулярні кільця

Примітки

Див. також

Література

Навігаційне меню

Пошук