Геометрична ймовірність

Геометрична ймовірність — це поняття ймовірності, що запроваджується так: Нехай $\mathrm{\Omega }$ — деяка підмножина прямої, площини чи простору. Випадкова подія $A$ — підмножина $\mathrm{\Omega }$. Тоді ймовірність випадкової події визначається формулою: $P(A)=\frac{m(A)}{m(\mathrm{\Omega })}$ де $m(A),m(\mathrm{\Omega })$ — довжина, площа чи об'єм множин $A$ та $\mathrm{\Omega }$.

Це пов'язане з інтерпретацією ймовірності як міри на обраному просторі елементарних подій. В даному випадку він збігається з евклідовим простором.

Використання геометричної ймовірності

• Голка Бюффона: Яка ймовірність того, що голка кинута на поверхню розграфлену паралельними прямими розташованими через однакові проміжки перетне одну з цих прямих?
• Парадокс Бертрана: Яке матсподівання довжини випадково обраної хорди на одиничному колі?
• Яка ймовірність того, що три випадково обрані на площині точки формують гострокутній трикутник?
• Та подібні…

Формально

Стохастичний експеримент полягає в обранні навмання точки з множини $B\subseteq {ℝ}^n$. За його математичну модель прийнято розглядати ймовірнісний простір $\{B,{𝔅}_B^n,P\}$, де $B$ — борелева множина з ${ℝ}^n$, ${𝔅}_B^n$ — клас борелевих підмножин множини $B$, $P$ — ймовірність на класі ${𝔅}_B^n$, яка для кожного $A$ з цього класу визначається рівністю:

$P(A)=\frac{L(A)}{L(B)}$,

де $L$ — міра Лебега на ${ℝ}^n$ (значення $L$ на паралелепіпедах $[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times \dots \times [a_n,b_n]$, дорівнює $\prod _{i=1}^n(b_i-a_i)$).

Так визначену ймовірність назвемо геометричною (зрозуміло, що множина $B$ має задовольняти умову $0<L(B)<\mathrm{\infty }$.

Джерела

• Шаблон:Гнєденко.Курс теорії ймовірностей
• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко
• Шаблон:Колмогоров.Основные понятия теории вероятностей

Посилання

1. УІТО: Теорія ймовірності та математична статистика — Термінологічний словникШаблон:Недоступне посилання
2. Шаблон:Cite book