Вкладення Веронезе

Вкладення Веронезе — в алгебраїчній геометрії приклад морфізму проєктивних многовидів, що вкладає проєктивний простір, як підмноговид іншого проєктивного простору більшої розмірності. Образ цього вкладення називається многовидом Веронезе. Особливо важливим прикладом є поверхня Веронезе — алгебрична поверхня в п'ятивимірному проєктивному просторі, яка має застосування у вивченні конік. Назване на честь італійського математика Джузеппе Веронезе.

Означення

Нехай $d$ і $n$ — натуральні числа і $N=C_{n+d}^d-1$ (де $C_{n+d}^d$ — біноміальний коефіцієнт).

Вкладенням Веронезе степеня d з n-вимірного проєктивного простору називається відображення

${\nu }_d:{\mathbb{P}}^n\to {\mathbb{P}}^N$

яке точці з однорідними координатами $[x_0:\dots :x_n]$ ставить у відповідність точку усіх можливих мономів від $x_0,\dots ,x_n$ степеня d посортованих у лексикографічному порядку. Образ проєктивного простору при цьому відображенні називається многовидом Веронезе.

Зокрема для $n=1$:

${\nu }_d([x_0:x_1])=[x_0^d:x_0^{d-1}{x}_1:x_0^{d-2}{x}_1^2:\dots :x_1^d]$

і для $d=2$:

${\nu }_2([x_0:\dots :x_n])=[x_0^2:x_0{x}_1:\dots :x_0{x}_n:x_1^2:\dots :x_1{x}_n:\dots :x_n^2]$.

Для невеликих d відображення є тривіальним: при d = 0 образом є єдина точка ${\mathbb{P}}_0$, при d = 1 відображення є тотожним; тому зазвичай розглядається випадок коли d є не менше двох.

Можна означити відображення Веронезе не залежним від координат способом, а саме

${\nu }_d:\mathbb{P}V\to \mathbb{P}({\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}}^{\mathrm{d}}\mathrm{V}\mathrm{)}$

де V — скінченновимірний векторний простір, а ${\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}}^{\mathrm{d}}\mathrm{V}$ — його симетричний степінь.

Раціональні нормальні криві

Шаблон:Докладніше При $n=1$ образ вкладення Веронезе відомий як раціональна нормальна крива. Наведемо приклади раціональних нормальних кривих малих розмірностей:

• При $n=1,d=1$ вкладення Веронезе — тотожне відображення проєктивної прямої на себе.
• При $n=1,d=2$ многовид Веронезе — парабола $[x^2:xy:y^2],$ в афінних координатах $(x,x^2).$
• При $n=1,d=3$ многовид Веронезе — скручена кубика, $[x^3:x^{2}y:x{y}^2:y^3],$ в афінних координатах $(x,x^2,x^3).$

Поверхня Веронезе

Поверхня Веронезе — образ вкладення Веронезе для $n=2,d=2$ яке переважно записується як

$\nu :[x:y:z]\mapsto [x^2:y^2:z^2:yz:xz:xy]$

Поверхня Веронезе природним чином виникає при вивченні конік, особливо при доведенні твердження «п'ять точок однозначно визначають коніку». Коніка — це плоска крива, задана рівнянням

$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dxz+Eyz+F{z}^2=0,$

яке є квадратичним щодо змінних $x,y,z.$ Однак композиція з вкладенням Веронезе дозволяє зробити це рівняння лінійним (точніше, для отримання довільної коники досить перетнути поверхню Веронезе гіперплощиною і взяти прообраз перетину).

Навпаки, умова того, що коніка містить точку $[x:y:z]$ є лінійною відносно коефіцієнтів $(A,B,C,D,E,F)$, тобто зменшує розмірність простору на одиницю. Точніше твердження полягає в тому, що п'ять точок загального положення визначають п'ять незалежних лінійних рівнянь, це випливає з того, що при вкладенні Веронезе точки загального положення переходять у точки загального положення.

Бірегулярність вкладення Веронезе

Вкладення Веронезе є морфізмом проєктивних многовидів оскільки всі однорідні координати образу відображення є однорідними многочленами степеня d від координат в області визначення і значення всіх цих многочленів не може бути одночасно нульовим.

Координати проєктивного простору ${\mathbb{P}}^N$ у який відбувається вкладення можна проіндексувати степенями змінних у мономах, тобто як $z_I$, де $I=(i_0,\dots ,i_n),i_0+\dots +i_n=d,$що відповідає моному $x_0^{i_0},\dots ,x_n^{i_n}.$ Якщо $I,J,K,L\in \mathbb{N}$ — чотири такі індекси, що $I+J=K+L$ (де сума визначається покоординатно), то з означення вкладення Веронезе очевидно, що координати його образу задовольняють рівність $z_I{z}_J-z_K{z}_L=0.$ Тобто образ вкладення Веронезе міститься у підмноговиді ${\mathbb{P}}^N$, що задовольняє систему рівнянь:

$W=V(\{z_I{z}_J-z_K{z}_L=0|I,J,K,L\in \mathbb{N},I+J=K+L\}).$

Навпаки, якщо точка простору ${\mathbb{P}}^N$ задовольняє вказаній системі рівнянь то вона належить образу вкладення Веронезе. Справді кожна така точка має хоча б одну ненульову серед координат $z_I$, де $I$ — індекс в якого стоїть d на позиції i і 0 на всіх інших позиціях. Дійсно якщо $z_J\ne 0$ для деякого індексу $J=(j_0,\dots ,j_n)$ для якого, наприклад $0<j_i<d$, то з того, що $z_J{z}_J=z_K{z}_L\ne 0,2J=K+L,$ можна обрати $K$, таке що $z_K\ne 0$ і його елемент на i-ій позиції рівний $\min (2j_i,d)$ тобто строго більший від $j_i$. Повторивши цю процедуру необхідну кількість разів отримаємо необхідний індекс в якому ненульове число буде лише на i-ій позиції.

Тоді ми можемо ввести відображення ${\mu }_d:{\mathbb{P}}^N\to {\mathbb{P}}^n,$ який точці для якої $z_I\ne 0,$ де $I$ визначено як вище ставить у відповідність точку однорідні координати якої рівні:

$(z_{(1,0,\dots ,d-1,\dots ,0)}:z_{(0,1,\dots ,d-1,\dots ,0)}:\dots :z_{(0,0,\dots ,d-1,\dots ,1)})$

В усіх індексах вище d-1 знаходиться на i-ій позиції, а на i-ому місці стоїть $z_I$ (яка, відповідно, не рівна нулю). Неважко переконатися, що образ відображення не залежить від вибору індексу $I$, що задовольняє необхідні умови, і що відображення ${\mu }_d$ є оберненим до вкладення Веронезе.

З цього ми отримуємо, що образ многовида під дією вкладення Веронезе знову є многовидом (многовидом W), причому ізоморфним першому (jcrskmrb обернене відображення ${\mu }_d$ також очевидно є регулярним). Таким чином, вкладення Веронезе є бірегулярним.

З бірегулярності випливає, зокрема, що точки загального положення переходять у точки загального положення. Дійсно, якби образи точок задовольняли нетривіальному рівнянню, це рівняння задавало б підмноговид, прообраз якого був би підмноговидом, що містить вихідні точки. Також за допомогою цього можна показати, що будь-який проєктивний многовид є перетином многовида Веронезе і лінійного простору, тобто перетином квадрик.

Література

• Шаблон:Citation
• Karen Smith, Lauri Kahanpää, Pekka Kekäläinen, William Traves An invitation to algebraic geometry. Springer Verlag 2000, 2004, ISBN 0-387-98980-3.