Раціональна нормальна крива

Раціона́льна норма́льна крива́ — гладка раціональна крива Шаблон:Не перекладено n в n-вимірному проєктивному просторі ${\mathbb{P}}^n.$ Вона є одним із порівняно простих проєктивних многовидів, більш формально, вона є образом вкладення Веронезе, застосованого до проєктивної прямої.

Визначення

Раціональну нормальну криву можна задати параметрично як образ відображення

$\nu :{\mathbb{P}}^1\to {\mathbb{P}}^n$

яке переводить точку з однорідними координатами $[s:t]$ в точку

$[s^n:s^{n-1}t:s^{n-2}{t}^2:\dots :t^n].$

У афінній карті $x_0=1$ це відображення записується простіше:

$\nu :x\mapsto (x,x^2,\dots ,x^n).$

Легко бачити, що раціональна нормальна крива отримується замиканням афінної кривої $(x,x^2,\dots ,x^n)$ за допомогою єдиної нескінченно віддаленої точки.

Еквівалентно, раціональну нормальну криву можна задати як множину спільних нулів однорідних многочленів

$F_{i,j}(x_0,\dots ,x_n)=x_i{x}_j-x_{i+1}{x}_{j-1},$

де $[x_0:\dots :x_n]$ — однорідні координати на ${\mathbb{P}}^n$. Розглядати всі ці многочлени не обов'язково, для задання кривої досить вибрати, наприклад, $F_{i,i}$ і $F_{1,n-1}.$

Альтернативна параметризація

Нехай $[a_i:b_i]$ — $n+1$ різних точок на ${\mathbb{P}}^1.$ Тоді многочлен

$G(s,t)={\mathrm{\Pi }}_{i=0}^n(a_{i}s-b_{i}t)$

є однорідним многочленом степеня $n+1$ з різними коренями. Многочлени

$H_i(s,t)=\frac{G(s,t)}{(a_{i}s-b_{i}t)}$

утворюють базис простору однорідних многочленів степеня n. Відображення

$[s:t]\mapsto [H_0(s,t):H_1(s,t):\dots :H_n(s,t)]$

також задає раціональну нормальну криву. Дійсно, мономи $s^n,s^{n-1}t,s^{n-2}{t}^2,\dots ,t^n$ є лише одним з можливих базисів у просторі однорідних многочленів, і його можна перевести лінійним перетворенням у будь-який інший базис.

Це відображення переводить нулі многочлена $G(s,t)$ в «координатні точки», тобто точки, всі однорідні координати яких, крім однієї, дорівнюють нулю. І навпаки, раціональну нормальну криву, що проходить через ці точки, можна задати параметрично за допомогою деякого многочлена $G.$

Властивості

• Будь-які $n+1$ точка на раціональній нормальній кривій у ${\mathbb{P}}^n$ лінійно незалежні. Навпаки, будь-яка крива з такою властивістю є раціональною нормальною.
• Для будь-яких $n+3$ точок ${\mathbb{P}}^n,$ таких, що будь-які $n+1$ з них лінійно незалежні, існує єдина раціональна нормальна крива, що проходить через ці точки. Для побудови такої кривої досить перевести $n+1$ з точок у «координатні», а потім, якщо решта точок перейшли в $[c_0:c_1:\dots :c_n],[d_0:d_1:\dots :d_n],$ як многочлен $G$ вибрати многочлен, що занулююється в точках $[a_i:b_1]=[c_i^{-1}:d_i^{-1}].$
• Раціональна нормальна крива в разі $n>2$ не є повним перетином, тобто її неможливо задати числом рівнянь, рівним її корозмірності.

Література

• Шаблон:Книга