Біцентричний чотирикутник

Поризм Понселе для біцентричних чотирикутників ABCD і EFGH

Біцентричний чотирикутник — це опуклий чотирикутник, який має як вписане коло, так і описане коло. З визначення випливає, що біцентричні чотирикутники мають всі властивості як описаних чотирикутників, так і вписаних чотирикутників. Інші назви цих чотирикутників: хордо-дотичний чотирикутникШаблон:Sfn і вписано-описаний чотирикутник.

Якщо два кола, одна усередині іншого, є вписаним колом і описаним колом деякого чотирикутника, то будь-яка точка на описаному колі є вершиною якогось (можливо, іншого) біцентричного чотирикутника, який має ті самі вписане та описане кола. Це наслідок поризму Понселе, який довів французький математик Жан-Віктор Понселе (1788-1867).

Спеціальні випадки

Прямокутний дельтоїд

Прикладами вписано-описаних чотирикутників є квадрати, прямокутні дельтоїди і рівнобічні описані трапеції.

Опис

Біцентричний чотирикутник ABCD і його контактний чотирикутник WXYZ

Опуклий чотирикутник ABCD зі сторонами a, b, c, d є біцентричним тоді і тільки тоді, коли протилежні сторони задовольняють теоремі Піто для описаних чотирикутників і властивості вписаних чотирикутників, що протилежні кути в сумі дають 180 градусів, тобто,

$\{\begin{array}{c}a+c=b+d\\ A+C=B+D=\pi .\end{array}$

Три інших описи стосуються точок, в яких вписане коло в описаному чотирикутнику дотикається до сторін. Якщо вписане коло дотикається сторін AB, BC, CD і DA в точках W, X, Y і Z відповідно, то описаний чотирикутник ABCD є також і описаним в тому і тільки в тому випадку, коли виконується будь-яка з таких трьох умовШаблон:Sfn:

• Відрізок WY перпендикулярний до XZ
• $\frac{AW}{WB}=\frac{DY}{YC}$
• $\frac{AC}{BD}=\frac{AW+CY}{BX+DZ}$

Перша з цих трьох умов означає, що контактний чотирикутник WXYZ є ортодіагональним чотирикутником.

Якщо E, F, G, H є серединами WX, XY, YZ, ZW відповідно, то описаний чотирикутник ABCD також є описаним тоді і тільки тоді, коли чотирикутник EFGH є прямокутникомШаблон:Sfn.

Відповідно до іншого опису, якщо I є центром вписаного кола описаного чотирикутника, у якого продовження протилежних сторін перетинаються в точках J і K, то чотирикутник є описаним тоді і тільки тоді, коли JIK є прямим кутомШаблон:Sfn.

Ще однією необхідною і достатньою умовою є те, що описаний чотирикутник ABCD є описаним тоді і тільки тоді, коли його пряма Гаусса перпендикулярна до прямої Гаусса його контактного чотирикутника WXYZ. (Пряма Гаусса чотирикутника визначається середніми точками його діагоналей.)Шаблон:Sfn

Побудова

Біцентричний чотирикутник ABCD з контактним чотирикутником WXYZ. Анімацію дивіться тут

Є простий метод побудови біцентричного чотирикутника:

Побудова починається зі вписаного кола C_r з центром I і радіусом r, потім малюємо дві перпендикулярні між собою хорди WY і XZ у вписаному колі C_r. На кінцях хорд проводимо дотичні a, b, c і d до вписаного кола. Вони перетинаються в точках A, B, C і D, які є вершинами біцентричного чотирикутникаШаблон:Sfn. Щоб намалювати описане коло, малюємо два перпендикулярні бісектори[en] p₁ і p₂ на сторонах біцентричного чотирикутника a і b відповідно. Перпендикулярні бісектори p₁ і p₂ перетинаються в центрі O описаного кола C_R на відстані x від центру I вписаного кола C_r. Описане коло може бути описане навколо центру O.

Правильність цієї побудови випливає з факту, що в описаному чотирикутнику ABCD контактний чотирикутник WXYZ має перпендикулярні діагоналі тоді і тільки тоді, коли описаний чотирикутник є також вписаним.

Площа

Формули в термінах чотирьох величин

Площу K біцентричного чотирикутника можна виразити в термінах чотирьох величин чотирикутника кількома способами. Якщо a, b, c і d є сторонами, то площа задається формулоюШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn

$K=\sqrt{abcd}.$

Це окремий випадок формули Брамагупти. Формулу можна отримати і прямо з тригонометричної формули площі описаного чотирикутника. Зауважимо, що зворотне не виконується — деякі чотирикутники, які не є біцентричними також мають площу $K=\sqrt{abcd}.$Шаблон:Sfn. Прикладом такого чотирикутника є прямокутник (з різними сторонами, не квадрат).

Площа може бути виражена в термінах відрізків від вершини до точки дотику (для стислості будемо називати ці довжини дотичними довжинами) e, f, g, hШаблон:Sfn

$K=\sqrt[4]{efgh}(e+f+g+h).$

Формула площі біцентричного чотирикутника ABCD з центром вписаного кола IШаблон:Sfn

$K=AI\cdot CI+BI\cdot DI.$

Якщо біцентричний чотирикутник має дотичні хорди k, l і діагоналі p, q, тоді він має площуШаблон:Sfn

$K=\frac{klpq}{k^2+l^2}.$

Якщо k, l є дотичними хордами і m, n є бімедіанами чотирикутника, тоді площа може бути обчислена за допомогою формулиШаблон:Sfn.

$K=\left|\frac{m^2-n^2}{k^2-l^2}\right|kl$

Формула не може бути використана, якщо чотирикутник є прямокутним дельтоїдом, оскільки в цьому випадку знаменник дорівнює нулю.

Якщо M і N є серединами діагоналей, а E і F є точками перетину продовження сторін, то площа біцентричного чотирикутника задається формулою

$K=\frac{2MN\cdot EI\cdot FI}{EF}$

де I є центром вписаного колаШаблон:Sfn.

Формули в термінах трьох величин

Площу біцентричного чотирикутника можна виразити в термінах двох протилежних сторін і кута θ між діагоналями згідно з формулоюШаблон:Sfn

$K=ac\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\theta }{2}=bd\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\theta }{2}.$

У термінах двох суміжних кутів і радіуса r вписаного кола площа задається формулою Шаблон:Sfn

$K=2r^2(\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}).$

Площа задається в термінах радіуса R описаного кола і радіуса r вписаного кола як

$K=r(r+\sqrt{4R^2+r^2})\sin \theta$

де θ є будь-яким з кутів між діагоналямиШаблон:Sfn.

Якщо M і N є середніми точками діагоналей, а E і F є точками перетину продовжень протилежних сторін, площу можна виразити формулою

$K=2MN\sqrt{EQ\cdot FQ}$

де Q є основою перпендикуляра на пряму EF з центра вписаного колаШаблон:Sfn.

Нерівності

Якщо r і R є радіусом вписаного кола і радіусом описаного кола відповідно, тоді площа K задовольняє нерівностіШаблон:Sfn

$4r^2⩽K⩽2R^2.$

Рівність отримаємо тільки якщо чотирикутник є квадратом.

Іншою нерівністю для площі будеШаблон:Rp

$K⩽\frac{4}{3}r\sqrt{4R^2+r^2}$

де r і R є радіусом вписаного кола і радіусом описаного кола відповідно.

Схожа нерівність, що дає точнішу верхню межу для площі, ніж попередняШаблон:Sfn

$K⩽r(r+\sqrt{4R^2+r^2})$

і рівність досягається тоді і тільки тоді, коли чотирикутник є прямокутним дельтоїдом[en].

Крім того, зі сторонами a, b, c, d і півпериметром s:

$2\sqrt{K}⩽qs⩽r+\sqrt{r^2+4R^2};$Шаблон:Rp

$6K⩽ab+ac+ad+bc+bd+cd⩽4r^2+4R^2+4r\sqrt{r^2+4R^2};$Шаблон:Rp

$4K{r}^2⩽abcd⩽\frac{16}{9}{r}^2(r^2+4R^2).$Шаблон:Rp

Формули кутів

Якщо a, b, c і d є довжинами сторін AB, BC, CD і DA відповідно у біцентричному чотирикутнику ABCD, то його кути у вершинах можна обчислити за допомогою тангенсаШаблон:Sfn:

$\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{bc}{ad}}=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{C}{2},$

$\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{cd}{ab}}=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{D}{2}.$

Якщо використати ті ж позначення, виконуються такі формули для синусів і косинусівШаблон:Sfn:

$\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{bc}{ad+bc}}=\cos \frac{C}{2},$

$\cos \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{ad}{ad+bc}}=\sin \frac{C}{2},$

$\sin \frac{B}{2}=\sqrt{\frac{cd}{ab+cd}}=\cos \frac{D}{2},$

$\cos \frac{B}{2}=\sqrt{\frac{ab}{ab+cd}}=\sin \frac{D}{2}.$

Кут θ між діагоналями можна обчислити за формулоюШаблон:Sfn.

$\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{bd}{ac}}.$

Радіус вписаного кола і радіус описаного кола

Радіус вписаного кола r біцентричного чотирикутника визначається сторонами a, b, c, d за формулою

$r=\frac{\sqrt{abcd}}{a+c}=\frac{\sqrt{abcd}}{b+d}.$

Радіус описаного кола R є окремим випадком формули Парамешвари

$R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}.$

Радіус вписаного кола можна виразити також у термінах послідовних дотичних довжин e, f, g, h за формулоюШаблон:Sfn.

$r=\sqrt{eg}=\sqrt{fh}.$

Ці дві формули, фактично, є необхідними і достатніми умовами для описаного чотирикутника з радіусом вписаного кола r бути вписаним.

Чотири сторони a, b, c, d біцентричного чотирикутника є розв'язками рівняння четвертого степеня[en]

$y^4-2s{y}^3+(s^2+2r^2+2r\sqrt{4R^2+r^2})y^2-2rs(\sqrt{4R^2+r^2}+r)y+r^2{s}^2=0$

де s є півпериметром, а r і R є радіусами вписаного і описаного кіл відповідноШаблон:Sfn.

Якщо є біцентричний чотирикутник з радіусом вписаного кола r, дотичні довжини якого дорівнюють e, f, g, h, то існує біцентричний чотирикутник з радіусом вписаного кола r^v, дотичні довжини якого дорівнюють $e^v,f^v,g^v,h^v$, де v можуть бути будь-яким дійсним числомШаблон:Sfn.

Біцентричний чотирикутник має більший радіус вписаного кола, ніж будь-який інший описаний чотирикутник, що має ті самі довжини сторін в тій самій послідовностіШаблон:Sfn.

Нерівності

Радіус описаного кола R і радіус вписаного кола r задовольняють нерівності

$R⩾\sqrt{2}r$

яку довів Л. Фейєш Тот у 1948Шаблон:Sfn. Нерівність перетворюється на рівність тільки якщо два кола концентричні (центри збігаються). У цьому випадку чотирикутник є квадратом. Нерівність можна довести кількома різними шляхами, один з шляхів використовує подвійну нерівність для площі вище.

Узагальненням попередньої нерівності єШаблон:SfnШаблон:Sfn.

$\frac{r\sqrt{2}}{R}⩽\frac{1}{2}(\sin \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}+\sin \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}+\sin \frac{C}{2}\cos \frac{D}{2}+\sin \frac{D}{2}\cos \frac{A}{2})⩽1$

де нерівність перетворюється на рівність тоді і тільки тоді, коли чотирикутник є квадратомШаблон:Sfn.

Півпериметр s біцентричного чотирикутника задовольняєШаблон:Sfn

$\sqrt{8r(\sqrt{4R^2+r^2}-r)}⩽s⩽\sqrt{4R^2+r^2}+r$

де r і R є радіусом вписаного кола і радіусом описаного кола відповідно.

Більше того,Шаблон:Rp

$2s{r}^2⩽abc+abd+acd+bcd⩽2r(r+\sqrt{r^2+4R^2}{)}^2$

і

$abc+abd+acd+bcd⩽2\sqrt{K}(K+2R^2).$ Шаблон:Rp

Відстань між центром вписаного кола і центром описаного кола

Біцентричний чотирикутник ABCD з центром вписаного кола I і центром описаного кола O

Теорема Фусса

Теорема Фусса дає зв'язок між радіусом вписаного кола r, радіусом описаного кола R і відстанню x між центром вписаного кола I і центром описаного кола O, для будь-якого біцентричного чотирикутника. Зв'язок задається формулоюШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

$\frac{1}{(R-x{)}^2}+\frac{1}{(R+x{)}^2}=\frac{1}{r^2},$

Або, еквівалентно,

$2r^2(R^2+x^2)=(R^2-x^2{)}^2.$

Формулу вивів Шаблон:Нп (1755-1826) у 1792 році. Розв'язуючи відносно x, отримаємо

$x=\sqrt{R^2+r^2-r\sqrt{4R^2+r^2}}.$

Теорема Фусса для вписано-описаних чотирикутників, яка є аналогом теореми Ейлера для трикутників, стверджує, що якщо чотирикутник біцентричений, то його два асоційовані кола пов'язані наведеною вище формулою. Фактично, зворотне також виконується, якщо дано два кола (одне усередині іншого) з радіусами R і r і відстань x між їхніми центрами задовольняє умові теореми Фусса, існує опуклий чотирикутник вписаний в одне з кіл, а інше коло буде вписане в чотирикутникШаблон:Sfn (а тоді за теоремою Понселе, існує нескінченно багато таких чотирикутників).

Якщо скористатись фактом, що $x^2⩾0$ у виразі теореми Фусса, отримаємо іншим способом вже згадану нерівність $R⩾\sqrt{2}r.$ Узагальненням нерівності буде Шаблон:Sfn

$2r^2+x^2⩽R^2⩽2r^2+x^2+2rx.$

Тотожність Карліца

Інша формула відстані x між центрами вписаного кола і описаного кола належить американському математику Леонарду Карліцу (1907-1999). Формула стверджує, щоШаблон:Sfn.

$x^2=R^2-2Rr\cdot \mu$

де r і R є радіусом вписаного кола і радіусом описаного кола відповідно, і

$\mu =\sqrt{\frac{(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c{)}^2(ac+bd)}}=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d{)}^2(ac+bd)}}$

де a, b, c, d є сторонами біцентричного чотирикутника.

Нерівності для дотичних довжин і сторін

Для дотичних довжин e, f, g, h виконуються такі нерівностіШаблон:Sfn:

$4r⩽e+f+g+h⩽4r\cdot \frac{R^2+x^2}{R^2-x^2}$

і

$4r^2⩽e^2+f^2+g^2+h^2⩽4(R^2+x^2-r^2)$

де r є радіусом вписаного кола, R є радіусом описаного кола, а x є відстанню між центрами цих кіл. Сторони a, b, c, d задовольняють нерівностямШаблон:Sfn

$8r⩽a+b+c+d⩽8r\cdot \frac{R^2+x^2}{R^2-x^2}$

і

$4(R^2-x^2+2r^2)⩽a^2+b^2+c^2+d^2⩽4(3R^2-2r^2).$

Інші властивості центру вписаного кола

Центр описаного кола, центр вписаного кола і точка перетину діагоналей у біцентричному чотирикутнику колінеарні.

Є така рівність щодо чотирьох відстаней між центром вписаного кола I і вершинами біцентричного чотирикутника ABCD:

$\frac{1}{A{I}^2}+\frac{1}{C{I}^2}=\frac{1}{B{I}^2}+\frac{1}{D{I}^2}=\frac{1}{r^2}$

де r — радіус вписаного кола.

Якщо точка P є перетином діагоналей у біцентричному чотирикутнику ABCD з центром вписаного кола I, то

$\frac{AP}{CP}=\frac{A{I}^2}{C{I}^2}.$

Є нерівність для радіуса r вписаного кола і радіуса описаного кола R у біцентричному чотирикутнику ABCD

$4r^2⩽AI\cdot CI+BI\cdot DI⩽2R^2$

де I є центром вписаного кола.

Властивості діагоналей

Довжини діагоналей у біцентричному чотирикутнику можна виразити в термінах сторін або дотичних довжин. Ці формули правильні для вписаних чотирикутників і описаних чотирикутників відповідно.

У біцентричному чотирикутнику з діагоналями p і q виконується тотожністьШаблон:Sfn:

$\frac{pq}{4r^2}-\frac{4R^2}{pq}=1$

де r і R є радіусом вписаного кола і радіусом описаного кола відповідно. Цю тотожність можна переписати якШаблон:Sfn

$r=\frac{pq}{2\sqrt{pq+4R^2}}$

або, розв'язавши її як квадратне рівняння відносно добутку діагоналей, отримаємо

$pq=2r(r+\sqrt{4R^2+r^2}).$

Є нерівність для добутку діагоналей p, q у біцентричному чотирикутникуШаблон:Sfn

$8pq⩽(a+b+c+d{)}^2$

де a, b, c, d — сторони. Нерівність довів Мюррей С. Кламкін у 1967.

Див. також

• Біцентричний многокутник

Література

• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Стаття