Q-символ Похгаммера

Шаблон:Заголовок із малої літери Q-символ Похгаммера, який називають також зсунутим q-факторіаломШаблон:Sfn Шаблон:Sfn — q-аналог символу Похгаммера і визначається він як

(a; q)_{n} = \prod_{k = 0}^{n - 1} (1 - a q^{k}) = (1 - a) (1 - a q) (1 - a q^{2}) \dots (1 - a q^{n - 1})

,

при цьому

(a; q)_{0} = 1

за визначенням. Q-символ Похгаммера є головним будівельним блоком у побудові q-аналогів. Наприклад, у теорії Шаблон:Не перекладено q-символ Похгаммера відіграє роль, як і звичайний символ Похгаммера в теорії Шаблон:Не перекладено.

На відміну від звичайного символу Похгаммера, q-символ Похгаммера можна розширити до нескінченного добутку:

(a; q)_{\infty} = \prod_{k = 0}^{\infty} (1 - a q^{k}) .

Це аналітична функція від q всередині одиничного кола і може сприйматися як формальний степеневий ряд від q. Окремий випадок

φ (q) = (q; q)_{\infty} = \prod_{k = 1}^{\infty} (1 - q^{k})

відомий як Шаблон:Не перекладено і грає важливу роль в комбінаториці, теорії чисел і теорії модулярних форм .

Тотожності

Скінченний добуток можна виразити через нескінченний:

(a; q)_{n} = \frac{(a; q)_{\infty}}{(a q^{n}; q)_{\infty}},

що розширює визначення для від'ємних цілих n. Таким чином, для невід'ємного n маємо

(a; q)_{- n} = \frac{1}{(a q^{- n}; q)_{n}} = \prod_{k = 1}^{n} \frac{1}{(1 - a / q^{k})}

і

(a; q)_{- n} = \frac{(- q / a)^{n} q^{n (n - 1) / 2}}{(q / a; q)_{n}} .

Q-символ Похгаммера бере участь у багатьох тотожностях з q-рядами, зокрема в нескінченному розширенні рядів

(x; q)_{\infty} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} q^{n (n - 1) / 2}}{(q; q)_{n}} x^{n}

і

\frac{1}{(x; q)_{\infty}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(q; q)_{n}}

,

які є окремими випадками q-біноміальної теореми:

\frac{(a x; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} x^{n} .

Шаблон:Нп знайшов таку тотожність (див. доведення в статті Ольшанецького і РоговаШаблон:Sfn):

\frac{(q; q)_{\infty}}{(z; q)_{\infty}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} q^{n (n + 1) / 2}}{(q; q)_{n} (1 - z q^{n})}, | z | < 1 .

Комбінаторна інтерпретація

Q-символ Похгаммера тісно пов'язаний з нумераційною комбінаторикою розбиттів. Коефіцієнт при $q^{m} a^{n}$ в

(a; q)_{\infty}^{- 1} = \prod_{k = 0}^{\infty} (1 - a q^{k})^{- 1}

дорівнює числу розбиттів m на не більше ніж n частин.

Оскільки це те ж саме, що розбиття m на частини, кожна з яких не перевищує n, отримуємо таку тотожність:

(a; q)_{\infty}^{- 1} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\prod_{j = 1}^{k} \frac{1}{1 - q^{j}}) a^{k} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{a^{k}}{(q; q)_{k}}

,

як в розділі вище.

Коефіцієнт при $q^{m} a^{n}$ в

(- a; q)_{\infty} = \prod_{k = 0}^{\infty} (1 + a q^{k})

дорівнює числу розбиттів числа m на n або n -1 різних частин.

Якщо видалити трикутне розбиття з n — 1 частинами з такого розбиття, ми залишимося з деяким розбивкою на не більше ніж n частин. Це дає бієкцію зі збереженням ваги між множиною розбиттів на n або n — 1 різних частин і множиною пар, що складаються з трикутного розбиття, яке містить n — 1 частин, і розбиття на не більше ніж n частин. Це приводить до тотожності:

(- a; q)_{\infty} = \prod_{k = 0}^{\infty} (1 + a q^{k}) = \sum_{k = 0}^{\infty} (q^{(\binom{k}{2})} \prod_{j = 1}^{k} \frac{1}{1 - q^{j}}) a^{k} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{q^{(\binom{k}{2})}}{(q; q)_{k}} a^{k}

також описану вище. Обернена (в сенсі 1/f) функція для $(q)_{\infty} : = (q; q)_{\infty}$ виникає аналогічним чином як твірна функція для функції розбиття числа, $p (n)$ , яка також розкладається в такі два q-рядиШаблон:Sfn:

\frac{1}{(q; q)_{\infty}} = \sum_{n \geq 0} p (n) q^{n} = \sum_{n \geq 0} \frac{q^{n}}{(q; q)_{n}} = \sum_{n \geq 0} \frac{q^{n^{2}}}{(q; q)_{n}^{2}} .

Q-біноміальна теорема саму можна довести за допомогою трохи більшого використання схожих комбінаторних аргументів.

Домовленість про множинні аргументи

Оскільки в тотожностях, що використовують q-символ Похгаммера, часто використовується добуток багатьох символів, домовились записувати добуток у вигляді одного символу з декількома аргументами:

(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}; q)_{n} = (a_{1}; q)_{n} (a_{2}; q)_{n} \dots (a_{m}; q)_{n} .

Q-ряди

Q -ряд — це ряд, у якому коефіцієнти є функціями від q, зазвичай у вигляді виразів з $(a; q)_{n}$ Шаблон:Sfn. Ранні результати належать Ейлеру, Гауссу і Коші. Систематичне вивчення почав Едуард Гейне (1843)Шаблон:Sfn.

Зв'язок з іншими q-функціями

\lim_{q \to 1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q} = n,

ми визначаємо q-аналог числа n, відомий також як q-дужка або q-число числа n, рівним

[n]_{q} = \frac{1 - q^{n}}{1 - q} .

Звідси ми можемо визначити q-аналог факторіала, q-факторіал

Знову можна виявити, що звичайний факторіал дорівнює границі при q, яке прямує до 1. Це можна інтерпретувати як число прапорів у n-вимірному векторному просторі над полем з q елементами, а перехід q в границі до 1 дає інтерпретацію упорядкування як прапора у векторному просторі над Шаблон:Не перекладено.

Добуток від'ємних цілих q-дужок можна виразити в термінах q-факторіала так:

\prod_{k = 1}^{n} [- k]_{q} = \frac{(- 1)^{n} [n]_{q}!}{q^{n (n + 1) / 2}}

Від q-факторіалів можна перейти до визначення q-біноміальних коефіцієнтів, відомих також як гауссові коефіцієнти, гауссові многочлени або гауссові біноміальні коефіцієнти, в такий спосіб

{[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}]}_{q} = \frac{[n]_{q}!}{[n - k]_{q}! [k]_{q}!},

звідки легко бачити, що трикутник цих коефіцієнтів симетричний у тому сенсі, що ${[\begin{matrix} n \\ m \end{matrix}]}_{q} = {[\begin{matrix} n \\ n - m \end{matrix}]}_{q}$ для всіх $0 ⩽ m ⩽ n$ .

Можна показати, що

\begin{matrix} {[\begin{matrix} n + 1 \\ k \end{matrix}]}_{q} & = {[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}]}_{q} + q^{n - k + 1} {[\begin{matrix} n \\ k - 1 \end{matrix}]}_{q} \\ = {[\begin{matrix} n \\ k - 1 \end{matrix}]}_{q} + q^{k} {[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}]}_{q} . \end{matrix}

З наведених вище рекурсивних відношень можна помітити, що такі варіанти $q$ -біноміальної теореми є розширеннями в термінах цих коефіцієнтівШаблон:Sfn:

\begin{matrix} (z; q)_{n} & = \sum_{j = 0}^{n} {[\begin{matrix} n \\ j \end{matrix}]}_{q} (- z)^{j} q^{(\binom{j}{2})} = (1 - z) (1 - q z) \dots (1 - z q^{n - 1}) \\ (- q; q)_{n} & = \sum_{j = 0}^{n} {[\begin{matrix} n \\ j \end{matrix}]}_{q^{2}} q^{j} \\ (q; q^{2})_{n} & = \sum_{j = 0}^{2 n} {[\begin{matrix} 2 n \\ j \end{matrix}]}_{q} (- 1)^{j} \\ \frac{1}{(z; q)_{m + 1}} & = \sum_{n \geq 0} {[\begin{matrix} n + m \\ n \end{matrix}]}_{q} z^{n} . \end{matrix}

Можна отримати q-аналог гамма-функції, званий Шаблон:Не перекладено і визначений як

Γ_{q} (x) = \frac{(1 - q)^{1 - x} (q; q)_{\infty}}{(q^{x}; q)_{\infty}}

Функція збігається до звичайної гамма-функції при q, яке прямує до 1 зсередини диска. Зауважимо, що

Γ_{q} (x + 1) = [x]_{q} Γ_{q} (x)

для будь-якого x і

Γ_{q} (n + 1) = [n]_{q}! \frac{}{} .

для невід'ємних цілих значень n. Альтернативно, функцію можна взяти як розширення q-факторіала в системі дійсних чисел.

Див. також

Примітки

Шаблон:Reflist

Література

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend

Посилання

Q-символ Похгаммера

Зміст

Тотожності

Комбінаторна інтерпретація

Домовленість про множинні аргументи

Q-ряди

Зв'язок з іншими q-функціями

Див. також

Примітки

Література

Посилання

Навігаційне меню

Q-символ Похгаммера

Тотожності

Комбінаторна інтерпретація

Домовленість про множинні аргументи

Q-ряди

Зв'язок з іншими q-функціями

Див. також

Примітки

Література

Посилання

Навігаційне меню

Пошук