Q-похідна

Q-похідна або похідна Джексона — це q-аналог звичайної похідної, який запропонував Шаблон:Нп. Q-похідна обернена до q-інтегрування Джексона. Інші види q-похідної можна знайти в статті К. С. Чанга, В. С. Чанга, С. Т. Нама і Г. Дж. КанаШаблон:Sfn.

Визначення

Q-похідна функції f (x) визначається як

${\left(\frac{d}{dx}\right)}_{q}f(x)=\frac{f(qx)-f(x)}{qx-x}.$

і часто записується як $D_{q}f(x)$. Q-похідна відома також як похідна Джексона.

Формально, в термінах оператора зсуву Лагранжа в логарифмічних змінних, це рівносильно оператору

$D_q=\frac{1}{x}\frac{q^{\frac{d}{d(\ln x)}}-1}{q-1},$

який приводить до звичайної похідної, → ^d ⁄ _dx при q → 1.

Оператор очевидно лінійний,

$D_q(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x).$

Q-похідна має правило для добутку, аналогічне правилу добутку для звичайної похідної в двох еквівалентних формах

$D_q(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).$

Аналогічно, q-похідна задовольняє правилу для ділення,

$D_q(f(x)/g(x))=\frac{g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)},g(x)g(qx)\ne 0.$

Є також правило, подібне до правила звичайного диференціювання суперпозиції функцій. нехай $g(x)=c{x}^k$ . тоді

$D_{q}f(g(x))=D_{q^k}(f)(g(x))D_q(g)(x).$

Власна функція q -похідної — це Шаблон:Не перекладено e_q(x).

Зв'язок зі звичайними похідними

Q-диференціювання нагадує звичайне диференціювання з курйозними відмінностями. Наприклад, q-похідна одночлена дорівнює

${\left(\frac{d}{dz}\right)}_q{z}^n=\frac{1-q^n}{1-q}{z}^{n-1}=[n{]}_q{z}^{n-1}$ ,

де $[n{]}_q$ — q-дужка числа n. Зауважимо, що $\underset{q\to 1}{\lim }[n{]}_q=n$, так що звичайна похідна повертається в границі.

Для функції n-а q-похідну можна задати як:

$(D_q^{n}f)(0)=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\frac{(q;q{)}_n}{(1-q{)}^n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}[n{]}_q!$

за умови, що звичайна n-а похідна функції f існує в x = 0. Тут $(q;q{)}_n$ — q-символ Похгаммера, а $[n{]}_q!$ — q-факторіал. Якщо функція $f(x)$ аналітична, можна використати формулу Тейлора для визначення $D_q(f(x))$

$D_q(f(x))=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(q-1{)}^k}{(k+1)!}{x}^k{f}^{(k+1)}(x).$

Q-аналог розкладу Тейлора функції поблизу нуля:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}^{(n)}(0)\frac{z^n}{n!}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(D_q^{n}f)(0)\frac{z^n}{[n{]}_q!}$

Див. також

• Похідна
• Інтеграл Джексона
• Шаблон:Не перекладено
• Шаблон:Не перекладено
• Шаблон:Не перекладено
• Ентропія Цалліса

Література

• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття

• J. Koekoek, R. Koekoek, A note on the q-derivative operator, (1999) ArXiv math / 9908140
• Thomas Ernst, The History of q-Calculus and a new method, (2001),