Інтеграл Джексона

Інтеграл Джексона в теорії спеціальних функцій відображає операцію, обернену до q-диференціювання.

Інтеграл Джексона ввів Шаблон:Нп.

Визначення

Нехай f (x) — функція від дійсної змінної x. Інтеграл Джексона для f визначається як такий ряд:

$\int f(x){\mathrm{d}}_{q}x=(1-q)x\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^{k}f(q^{k}x).$

У разі, якщо g (x) — інша функція і D_qg означає її q-похідну, формально її можна записати:

$\int f(x)D_{q}g{\mathrm{d}}_{q}x=(1-q)x\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^{k}f(q^{k}x)D_{q}g(q^{k}x)=(1-q)x\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^{k}f(q^{k}x)\frac{g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q^{k}x},$ або:

$\int f(x){\mathrm{d}}_{q}g(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}f(q^{k}x)\cdot (g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)),$

В результаті виходить q-аналог інтеграла Рімана — Стілтьєса.

Інтеграл Джексона як q-первісна

Як звичайну первісну неперервного відображення можна подати рімановим інтегралом, так і інтеграл Джексона дає єдину q-первісну для деякого класу функцій (див. Статті Кемпфа і МаджидаШаблон:Sfn).

Теорема

Якщо припустити, що $0<q<1$ і якщо значення $|f(x)x^{\alpha }|$ обмежено на інтервалі $[0,A)$ для деякого $0⩽\alpha <1,$ то інтеграл Джексона збігається до функції $F(x)$ на $[0,A)$, яка є q-первісною функції $f(x)$. Більш того, $F(x)$ неперервна на $x=0$ з $F(0)=0$ і є первісною функції $f(x)$ у цьому класі функційШаблон:Sfn.

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Cite web