Abc-гіпотеза

Матеріал з testwiki
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Напрямок Теорія Чисел
Автори
Рік 1985
Еквівалентне Шаблон:Iw
Наслідки
Математик Джозеф Остерле
Математик Девід Массер

Abc-гіпотеза (також відома як гіпотеза Естерле–Массера ) — це гіпотеза розділу теорії чисел, яка виникла як результат дискусій Джозефа Естерле та Девіда Массера в 1985 році Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Вона виражається в термінах трьох натуральних чисел a, b і c (звідси й назва), які є взаємно простими та задовольняють умову a + b = c . Гіпотеза по суті стверджує, що добуток різних простих множників abc зазвичай не набагато менший за c . Низка гіпотез і теорем теорії чисел випливають безпосередньо з abc-гіпотези або її версій. Математик Доріан Голдфельд описав цю гіпотезу як «найважливішу невирішену проблему діофантового аналізу ». Шаблон:Sfn

Abc-гіпотеза виникла як результат спроб Остерле та Массера зрозуміти гіпотезу Шпіро про еліптичні криві [1], що включає у своє твердження більше геометричних структур, ніж abc-гіпотеза . Було доведено, що abc-гіпотеза еквівалентна модифікованій гіпотезі Шпіро. Шаблон:Sfn

Було зроблено багато спроб довести abc-гіпотезу, але наразі жодна з них не прийнята повністю математичною спільнотою, і станом на 2020 рік вона все ще вважається недоведеною. [2]

Формулювання

Перш ніж сформулювати гіпотезу, слід ввести поняття радикала цілого числа : для натурального числа n радикал n, позначається rad( n ), є добутком різних простих множників n . Наприклад: Шаблон:Block indentШаблон:Block indentШаблон:Block indentШаблон:Block indent

Якщо a, b і c є взаємно простими [notes 1] натуральними числами, такими що a + b = c, виявляється, що "зазвичай" c < rad( abc ). Abc-гіпотеза має справу з винятками. Зокрема, в ній зазначено, що:Шаблон:Block indentЕквівалентне формулювання:Шаблон:Block indentЕквівалентно (використовуючи позначення o-маленьке ):Шаблон:Block indentЧетверте еквівалентне формулювання гіпотези включає у себе поняття якості q ( a, b, c ) трійки ( a, b, c ), що визначається як Шаблон:Block indent Наприклад: Шаблон:Block indent Типова трійка ( a, b, c ) взаємно простих натуральних чисел з умовою a + b = c матиме c < rad( abc ), тобто q ( a, b, c ) < 1. Трійки з q > 1, такі як наведені у другому прикладі, доволі особливі, вони складаються з чисел, які діляться на великі степені малих простих чисел . Третє формулювання:Шаблон:Block indentОскільки відомо, що існує нескінченна кількість трійок ( a, b, c ) взаємно простих натуральних чисел з умовою a + b = c таких, що q ( a, b, c ) > 1, то гіпотеза передбачає, що лише скінченна кількість із них мають q > 1,01 або q > 1,001 або навіть q > 1,0001 тощо. Зокрема, якщо гіпотеза вірна, то має існувати така трійка ( a, b, c ), яка досягає максимально можливої якості q ( a, b, c ).

Приклади трійок з малим радикалом

Умова ε > 0 є необхідною, оскільки існує нескінченна кількість трійок a, b, c з c > rad( abc ). Наприклад, нехай Шаблон:Block indent Ціле число b ділиться на 9: Шаблон:Block indent Використовуючи цей факт, виконуються такі обчислення: Шаблон:Block indent Замінивши експоненту 6 n іншими експонентами, змусивши b мати більші квадратичні множники, співвідношення між радикалом і c можна зробити як завгодно малим. Зокрема, нехай p > 2 є простим числом і розглянемо Шаблон:Block indent Тепер можна стверджувати, що b ділиться на p 2 : Шаблон:Block indent Останній крок використовує той факт, що p 2 ділить 2 p ( p −1) − 1. Це напряму випливає з малої теореми Ферма, яка стверджує, що для p > 2, 2 p −1 = pk + 1 для деякого цілого числа k . Піднесення обох частин до степеня p показує, що 2 p ( p −1) = p 2 (...) + 1.

А тепер подібними обчисленнями, як описано вище, отримуємо: Шаблон:Block indent Нижче наведено список трійок найвищої якості (трійок з особливо малим радикалом відносно c ); найвищу якість, 1,6299, виявив Ерік Рейссат Шаблон:Harvard citation для Шаблон:Block indentШаблон:Block indentШаблон:Block indentШаблон:Block indent

Abc-гіпотеза має велику кількість наслідків. До них належать як відомі результати (деякі з яких були доведені окремо уже після того, як гіпотеза була висловлена), так і гіпотези, для яких вона дає умовне доведення . Серед наслідків:

  • Теорема Рота про діофантову апроксимацію алгебраїчних чисел . Шаблон:Sfnp Шаблон:Sfn
  • Гіпотеза Морделла (уже доведена Гердом Фалтінгсом ). Шаблон:Sfnp
  • Як еквівалент, гіпотеза Войта в розмірності 1. Шаблон:Sfnp
  • Гіпотеза Ердеша–Вудса, яка допускає кінцеву кількість контрприкладів. Шаблон:Sfnp
  • Існування нескінченної кількості невіферіхових простих чисел у кожній основі b > 1. Шаблон:Sfnp
  • Слабка форма гіпотези Маршалла Холла про відокремлення квадратів і кубів цілих чисел. Шаблон:Sfnp
  • Велика теорема Ферма має відомий складний доказ Ендрю Вайлза. Однак це випливає легко, принаймні для n≥6, від ефективної форми слабкої версії гіпотези abc . Гіпотеза abc говорить, що lim sup набору всіх якостей (визначених вище) дорівнює 1, що передбачає набагато слабше твердження про те, що існує кінцева верхня межа для якостей. Припущення, що 2 є такою верхньою межею, достатньо для дуже короткого доказу останньої теореми Ферма для n≥6 . [3]
  • Гіпотеза Ферма-Каталана, узагальнення останньої теореми Ферма щодо степенів, які є сумами степенів. Шаблон:Sfnp
  • L -функція L ( s, χ d ), утворена за допомогою символу Лежандра, не має нуля Зігеля, враховуючи уніфіковану версію abc-гіпотези у числових полях, а не лише abc-гіпотезу, як сформульовано вище для раціональних цілих чисел. Шаблон:Sfnp
  • Многочлен P ( x ) має лише скінченну кількість досконалих степенів для всіх цілих чисел x, якщо P має принаймні три прості нулі . [4]
  • Узагальнення теореми Тідждемана щодо кількості розв’язків y m = x n + k (теорема Тідждемана відповідає випадку k = 1) і гіпотези Піллаї (1931) щодо кількості розв’язків Ay m = Bx n + k .
  • Як еквівалент, гіпотеза Гранвіля–Ланжевена, що якщо f є бінарною формою без квадратів степеня n > 2, то для довільного дійсного β > 2 існує константа C ( f, β ), така що для всіх взаємно простих цілих чисел x, y, радикал f ( x, y ) перевищує C · max{| х |, | y |} n − β . [5]
  • Як еквівалент, модифікована гіпотеза Шпіро, яка дасть межу rad( abc ) 1,2+ ε . Шаблон:Sfn
  • Шаблон:Harvtxt показав, що гіпотеза abc означає, що діофантове рівняння n ! + A = k 2 має лише скінченну кількість розв’язків для будь-якого даного цілого числа A .
  • Існує ~ c f N додатних цілих чисел n ≤ N, для яких f ( n )/B' є вільним від квадратів, де c f > 0 додатна константа, визначена як: Шаблон:SfnpШаблон:Block indent
  • Гіпотеза Біла, узагальнення великої теореми Ферма, яка припускає, що якщо A, B, C, x, y та z є натуральними числами з A x + B y = C z та x, y, z > 2, то A, B, і C мають спільний простий множник. Гіпотеза abc означатиме, що існує лише кінцева кількість контрприкладів.
  • Гіпотеза Ленга, нижня межа для висоти раціональної точки без кручення еліптичної кривої.
  • Від'ємний розв’язок проблеми Ердеша–Улама на щільних множинах евклідових точок із раціональними відстанями. [6]
  • Ефективний варіант теореми Зігеля про цілі точки на алгебраїчних кривих. [7]

Теоретичні результати

Abc-гіпотеза передбачає, що c може бути обмежено зверху майже лінійною функцією радикала abc . Відомо, що межі є експоненціальними . Зокрема, було доведено такі межі: Шаблон:Block indentШаблон:Block indentШаблон:Block indentУ даних межах K 1 і K 3 є константами, які не залежать від a, b чи c, а K 2 є константою, яка залежить від ε ( ефективно обчислюваним способом), але не залежить від a, b або c . Межі застосовуються до будь-яких трійок, для яких c > 2.

Результати обчислень

У 2006 році математичний факультет Лейденського університету в Нідерландах спільно з нідерландським науковим інститутом Kennislink запустив проект ABC@Home, грід- обчислювальну систему, метою якої є виявлення додаткових трійок a, b, c з rad( abc ) < c . Хоча жоден скінченний набір прикладів чи контрприкладів не може довести чи спростувати abc-гіпотезу, є сподівання, що закономірності в трійках, які будуть виявлені цим проектом, приведуть до глибшого розуміння цієї гіпотези.

Розподіл трійок з q > 1[8]
scope="col" Шаблон:Diagonal split header q > 1 q > 1.05 q > 1.1 q > 1.2 q > 1.3 q > 1.4
c < 102 6 4 4 2 0 0
c < 103 31 17 14 8 3 1
c < 104 120 74 50 22 8 3
c < 105 418 240 152 51 13 6
c < 106 1,268 667 379 102 29 11
c < 107 3,499 1,669 856 210 60 17
c < 108 8,987 3,869 1,801 384 98 25
c < 109 22,316 8,742 3,693 706 144 34
c < 1010 51,677 18,233 7,035 1,159 218 51
c < 1011 116,978 37,612 13,266 1,947 327 64
c < 1012 252,856 73,714 23,773 3,028 455 74
c < 1013 528,275 139,762 41,438 4,519 599 84
c < 1014 1,075,319 258,168 70,047 6,665 769 98
c < 1015 2,131,671 463,446 115,041 9,497 998 112
c < 1016 4,119,410 812,499 184,727 13,118 1,232 126
c < 1017 7,801,334 1,396,909 290,965 17,890 1,530 143
c < 1018 14,482,065 2,352,105 449,194 24,013 1,843 160

Станом на травень 2014 року ABC@Home знайшов 23,8 мільйона трійок. [9]

Шаблон:Якір2[10]
Rank q a b c Discovered by
1 1.6299 2 310·109 235 Eric Reyssat
2 1.6260 112 32·56·73 221·23 Benne de Weger
3 1.6235 19·1307 7·292·318 28·322·54 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
4 1.5808 283 511·132 28·38·173 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
5 1.5679 1 2·37 54·7 Benne de Weger

Примітка: якість q ( a, b, c ) трійки ( a, b, c ) визначена вище .

Уточнені форми, узагальнення та відповідні твердження

Гіпотеза abc є цілочисельним аналогом теореми Мейсона–Стозерса для поліномів.

Сильніша гіпотеза, запропонована Шаблон:Harvtxt, стверджує, що в гіпотезі abc можна замінити rad( abc ) на Шаблон:Block indent де ω — загальна кількість різних простих чисел, що ділять a, b і c . Шаблон:Sfnp

Ендрю Гранвіль помітив, що мінімум функції (ε−ωrad⁡(abc))1+ε для ε>0 виникає при ε=ωlog⁡(rad⁡(abc)).

Це надихнуло Шаблон:Harvtxt запропонувати чіткішу форму abc-гіпотези, а саме:

Шаблон:Block indent

де κ є абсолютною константою. Після кількох обчислювальних експериментів він виявив, що значення 6/5 було допустимим для κ . Ця версія називається «явною гіпотезою abc ».

Шаблон:Harvtxt також описав гіпотези Ендрю Гранвілья що б дало верхню межу на c виду:

Шаблон:Block indent

де Ω( n ) — загальна кількість простих множників n, і

Шаблон:Block indent

де Θ( n ) — кількість цілих чисел до n, які діляться лише на прості числа, що ділять n .

Шаблон:Harvtxt запропонували більш точну нерівність базуючись на Шаблон:Harvtxt. Нехай k = rad(abc). Вони припустили, що існує константа C1 така що

Шаблон:Block indent

виконується, тоді коли існує стала C 2 така, що

Шаблон:Block indent

виконується нескінченно часто.

Шаблон:Harvtxt сформулювали n- гіпотезу—версію abc гіпотезу для цілих чисел n > 2 .

Заявлені доведення

Люсьєн Шпіро запропонував рішення в 2007 році, але невдовзі у ньому знайшли помилку. [11]

З серпня 2012 року Шінічі Мочізукі заявив про доведення гіпотези Шпіро, а отже, abc-гіпотези . [12] Він випустив серію з чотирьох препринтів, які включали нову теорію, яку він назвав міжуніверсальною теорією Тейхмюллера (IUTT), яка в подальшому застосовується для підтвердження abc-гіпотези . [13] Статті не були прийняті математичною спільнотою як докази гіпотези. [14] Це відбулося не лише через їхню довжину та складність розуміння [15], а й тому, що принаймні один конкретний момент у аргументації був визначений як прогалина деякими іншими експертами. [16] Незважаючи на те, що кілька математиків ручалися за правильність доведення [17] і намагалися показати своє розуміння через семінари на IUTT, їм не вдалося переконати спільноту математиків теорії чисел. [18] [19]

У березні 2018 року Пітер Шольце та Якоб Стікс відвідали Кіото для обговорення з Мочізукі. [20] [21] Хоча вони не усунули розбіжності, вони чіткіше їх сформулювали. Шольце та Стікс написали звіт, в якому пояснювали помилку в логіці доведення та стверджували, що отримана прогалина була «настільки серйозною, що ... невеликі зміни не врятують стратегію доказу»; [16] Мочізукі стверджував, що вони неправильно зрозуміли життєво важливі аспекти теорії та зробили некоректні спрощення. [22] [23] [24]

3 квітня 2020 року двоє математиків з Кіотського науково-дослідного інституту, де працює Мочізукі, оголосили, що заявлене ним доведення буде опубліковано в публікаціях науково-дослідного інституту математичних наук, журналі інституту. Мочізукі є головним редактором цього журналу, але він відмовився від рецензування даної статті. [2] Кіран Кедлая та Едвард Френкель сприйняли цю заяву зі скептицизмом, а журнал Nature описав її як «навряд чи приведе багатьох дослідників до табору Мочізукі». [2] У березні 2021 року доведення Мочізукі було опубліковано в RIMS. [25]

Дивіться також

Список літератури

  1. ↑ When a + b = c, coprimality of a, b, c implies pairwise coprimality of a, b, c. So in this case, it does not matter which concept we use.

Джерела

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend

Посилання

  1. ↑ Шаблон:Cite journal
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 Шаблон:Cite journal
  3. ↑ Шаблон:Cite journal
  4. ↑ The ABC-conjecture, Frits Beukers, ABC-DAY, Leiden, Utrecht University, 9 September 2005.
  5. ↑ Шаблон:Harvtxt; Шаблон:Harvtxt
  6. ↑ Шаблон:Citation
  7. ↑ Шаблон:Arxiv Andrea Surroca, Siegel’s theorem and the abc conjecture, Riv. Mat. Univ. Parma (7) 3, 2004, S. 323–332
  8. ↑ Шаблон:Citation.
  9. ↑ Шаблон:Citation
  10. ↑ Шаблон:Cite web
  11. ↑ "Finiteness Theorems for Dynamical Systems", Lucien Szpiro, talk at Conference on L-functions and Automorphic Forms (on the occasion of Dorian Goldfeld's 60th Birthday), Columbia University, May 2007. See Шаблон:Citation.
  12. ↑ Шаблон:Cite journal
  13. ↑ Шаблон:Cite journal
  14. ↑ Шаблон:Cite web
  15. ↑ Шаблон:Cite magazine
  16. ↑ 16,0 16,1 Шаблон:Cite web Шаблон:Webarchive (updated version of their May report Шаблон:Webarchive)
  17. ↑ Шаблон:Cite journal
  18. ↑ Шаблон:Cite web
  19. ↑ Шаблон:Cite journal
  20. ↑ Шаблон:Cite magazine
  21. ↑ Шаблон:Cite web Web-page by Mochizuki describing discussions and linking consequent publications and supplementary material
  22. ↑ Шаблон:Cite web
  23. ↑ Шаблон:Cite web
  24. ↑ Шаблон:Cite web
  25. ↑ Шаблон:Cite web
Отримано з https://uk.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Abc-гіпотеза&oldid=10010