Ядро Феєра

В математиці ядро Феєра використовується для знаходження суми за Чезаро рядів Фур'є або перетворень Фур'є.

Графіки деяких ядер Феєра. На графіках використано іншу індексацію, ніж у статті і тому $F_i={\mathrm{\Phi }}_{i-1}$

Означення

Ядро Феєра задається як:

${\mathrm{\Phi }}_n(x)=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n{D}_k(x),$

де

$D_n(x)=\sum _{k=-n}^n{e}^{ikx}=(1+2\sum _{k=1}^n\cos (kx))=\frac{\sin \left((n+1/2)x\right)}{\sin (x/2)}$ — ядро Діріхле.

Ядра Феєра також можна записати через тригонометричні функції як:

${\mathrm{\Phi }}_n(x)=\frac{1}{n+1}\frac{{\sin }^2\frac{n+1}{2}x}{{\sin }^2\frac{x}{2}}=\frac{1}{n+1}\left(\frac{1-\cos (n+1)x}{1-\cos x}\right).$

Для точок $x=2\pi m,m\in \mathbb{Z}$ значення функції Феєра ${\mathrm{\Phi }}_n$ є рівним $n+1$, що є граничним значенням вказаних тригонометричних виразів у цих точках.

Назване на честь угорського математика Ліпота Феєра.

Доведення тригонометричної рівності

Ядро Діріхле рівне $D_n(x)=\frac{\sin \left((n+1/2)x\right)}{\sin (x/2)}=\frac{1}{\sin (x/2)}ℐ𝓂\left(e^{i(n+1/2)x}\right).$

Тому

$(n+1)D_n(x)=\frac{1}{\sin (x/2)}ℐ𝓂\left(\sum _{k=0}^n{e}^{i(n+1/2)x}\right).$

Із використанням суми геометричної прогресії звідси:

$(n+1)D_n(x)=\frac{1}{\sin (x/2)}ℐ𝓂\left(e^{ix/2}\frac{e^{i(n+1)x}-1}{e^{ix}-1}\right)=\frac{1}{\sin (x/2)}ℐ𝓂\left(\frac{e^{i(n+1)x}-1}{e^{ix/2}-e^{-ix/2}}\right).$

Далі для уявної частини у попередніх формулах:

$ℐ𝓂\left(\frac{e^{i(n+1)x}-1}{e^{ix/2}-e^{-ix/2}}\right)=\frac{1}{2i}(\frac{e^{i(n+1)x}-1}{e^{ix/2}-e^{-ix/2}}-\frac{e^{-i(n+1)x}-1}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}=\frac{1}{2i}\frac{e^{i(n+1)x}+e^{-i(n+1)x}-2}{e^{ix/2}-e^{-ix/2}}).$

Із властивостей полярного запису комплексних чисел:

$e^{i(n+1)x}+e^{-i(n+1)x}-2=2\cos (n+1)x-2,$

$e^{ix/2}-e^{-ix/2}=2i\sin (x/2),$

Підставляючи ці рівності у попередні формули:

$(n+1)D_n(x)=\frac{1}{2i}\frac{1}{\sin (x/2)}\frac{2\cos (n+1)x-2}{2i\sin (x/2)}=\frac{1-\cos (n+1)x}{2(\sin (x/2){)}^2}=\frac{1-\cos (n+1)x}{1-\cos x}=\frac{{\sin }^2\frac{n+1}{2}x}{{\sin }^2\frac{x}{2}}.$

Властивості

• ${\mathrm{\Phi }}_n(x)$ — $2\pi$-періодична, парна функція і $0⩽{\mathrm{\Phi }}_n(x)⩽n+1$ для всіх $x.$

Парність, $2\pi$-періодичність і додатність функції відразу випливає із тригонометричних виразів для функції. Із рівності для ядра Діріхле $D_k(x)=1+2\sum _{j=1}^k\cos (jx)$ випливає, що $D_k(x)⩽2k+1$ і тому ${\mathrm{\Phi }}_n(x)=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n{D}_k(x)⩽\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^{n}2k+1=\frac{(n+1{)}^2}{n+1}=n+1.$

Рівність досягається лише у точках для яких всі $\cos (jx)=1$ тобто у точках $x=2\pi m.$

• $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\mathrm{\Phi }}_n(u)du=2\pi$

Ядро Феєра є рівним ${\mathrm{\Phi }}_n(x)=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n\sum _{m=-k}^k{e}^{imx}.$ Проінтегрувавши цей вираз одержуємо

$\frac{1}{n+1}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\left(\sum _{k=0}^n\sum _{m=-k}^k{e}^{imx}\right)dx=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n\sum _{m=-k}^k\left(\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{e}^{imx}dx\right).$

Якщо $m\ne 0,$ то

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{e}^{imx}dx=\underset{-\pi }{\overset{0}{\int }}{e}^{imx}dx+\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{e}^{imx}dx=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}-e^{imx}dx+\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{e}^{imx}dx=0.$

Якщо $m=0,$ то $\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{e}^{i0x}dx=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}1dx=2\pi .$

Тому $\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\mathrm{\Phi }}_n(x)dx=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^{n}2\pi =2\pi .$

• Для будь-якого фіксованого $0<\delta ⩽\pi$ при $n\to \mathrm{\infty }$ також $\underset{\delta }{\overset{\pi }{\int }}{\mathrm{\Phi }}_n(x)dx\to 0,\underset{-\pi }{\overset{-\delta }{\int }}{\mathrm{\Phi }}_n(x)dx\to 0.$

Із тригонометричного запису ядра Феєра через квадрати синусів для $\delta ⩽x⩽\pi$ можна одержати обмеження:

${\mathrm{\Phi }}_n(x)dx⩽\frac{1}{n+1}\frac{1}{(\sin x/2{)}^2}⩽\frac{1}{n+1}\frac{1}{(\sin \delta /2{)}^2}.$

Звідси

$\underset{\delta }{\overset{\pi }{\int }}{\mathrm{\Phi }}_n(x)dx⩽\frac{1}{n+1}\underset{\delta }{\overset{\pi }{\int }}\frac{1}{(\sin \delta /2{)}^2}dx=\frac{1}{n+1}\frac{\pi -\delta }{(\sin \delta /2{)}^2}.$

Очевидно цей вираз прямує до 0 при $n\to \mathrm{\infty }.$ Інша границя доводиться аналогічно.

Співвідношення із рядом Фур'є

Нехай $f(x)$ — інтегровна на $[-\pi ,\pi ]$ і $2\pi$-періодична функція, $S_k(x)$ — часткові суми ряда Фур'є цієї функції, а ${\sigma }_n(x)$ — середнє арифметичне цих часткових сум, тобто ${\sigma }_n(x)=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n{S}_k(x)$. Тоді $\mathrm{\forall }x\in ℝ,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

${\sigma }_n(f;x)=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x-u){\mathrm{\Phi }}_n(u)du=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(f(x-u)+f(x+u)){\mathrm{\Phi }}_n(u)du.$

Згідно теореми Феєра, якщо додатково $f(x)$ є неперервною функцією, то ${\sigma }_n(x)$ рівномірно збігається до $f(x)$.

Ядро Феєра для інтеграла Фур'є

Ядро Феєра для інтеграла Фур'є визначається як:

$F_n(x)=\frac{2}{\pi n}\frac{{\sin }^2\frac{n}{2}x}{x^2}$

Властивості ядра Феєра для інтеграла Фур'є

• $F_n(x)⩾0$;
• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{F}_n(x)dx=1$
• Для будь-якого фіксованого $\delta >0$ при $n\to \mathrm{\infty }$ виконується $\underset{|x|⩾\delta }{\int }{F}_n(x)dx\to 0$

Див. також

• Ряд Фур'є
• Список тригонометричних тотожностей
• Теорема Феєра
• Ядро Діріхле

Посилання

William Wu. Fourier Series and Fejer’s Theorem