Функція Мінковського

Функція Мінковського

Функція «знак питання» Мінковського — побудована Германом Мінковським монотонна сингулярна функція $?(x)$ на відрізку $[0,1]$, яка має низку чудових властивостей. Так, вона взаємно-однозначно і зі збереженням порядку переводить квадратичні ірраціональності (тобто, числа вигляду $a+\sqrt{b},$ де $a$ і $b$ раціональні) на відрізку $[0,1]$ у раціональні числа на тому ж відрізку, а раціональні числа — в двійково-раціональні. Вона пов'язана з рядами Фарея, ланцюговими дробами, і дробово-лінійними перетвореннями, а її графік має низку цікавих симетрій.

Побудова

Функцію Мінковського можна задати декількома еквівалентними способами: через ряди Фарея, через ланцюгові дроби і побудовою графіка за допомогою послідовних ітерацій.

Задання за допомогою дерева Штерна — Броко

На кінцях відрізка функція Мінковського задається як $?(0)=0$ і $?(1)=1$. Після цього для будь-яких двох раціональних чисел $\frac{a}{b}$ і $\frac{c}{d}$, для яких $ad-bc=1$ — іншими словами, для будь-яких двох послідовних у будь-якому з рядів Фарея, — функція в їх медіанті $\frac{a+c}{b+d}$ визначається як середнє арифметичне значень у цих точках:

$?\left(\frac{a+c}{b+d}\right)=\frac{1}{2}(?\left(\frac{a}{b}\right)+?\left(\frac{c}{d}\right)).$

Так

$?\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{?(0)+?(1)}{2}=\frac{1}{2},$

$?\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{?(0)+?(1/2)}{2}=\frac{1}{4},$

$?\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{?(1/2)+?(1)}{2}=\frac{3}{4}$

і так далі.

Оскільки послідовності

$\frac{0}{1},\frac{1}{1},$

$\frac{0}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{1},$

$\frac{0}{1},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{1}{1},$

у яких наступна виходить з попередньої дописуванням між кожними сусідніми її елементами їх медіанти, перераховують в об'єднанні всі раціональні числа відрізка $[0,1]$ (див. дерево Штерна — Броко), така ітеративна процедура задає функцію Мінковського у всіх раціональних точках $[0,1]$. Більш того, легко бачити, що множиною її значень у цих точках виявляються точно всі двійково-раціональні числа $[0,1]$ — іншими словами, щільна в $[0,1]$ множина. Тому побудована функція за монотонністю однозначно продовжується до неперервної функції $?:[0,1]\to [0,1]$, і це якраз і є функція Мінковського.

Задання за допомогою ланцюгового дробу

Функція Мінковського, в певному сенсі, перетворює розклад у ланцюговий дріб на подання в двійковій системі числення. А саме, точку $x\in [0,1]$, що розкладається в ланцюговий дріб як $x=[0;a_1,a_2,\dots ]$, функція Мінковського переводить у

$?(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}}{2^{a_1+\dots +a_k-1}}.$

Іншими словами, точка

$x=\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\dots }}}$

переходить у точку

$?(x)=0,\underset{a_1-1}{\underbrace{0\dots 0}}\underset{a_2}{\underbrace{1\dots 1}}\underset{a_3}{\underbrace{0\dots 0}}\underset{a_4}{\underbrace{1\dots 1}}{\dots }_{(2)}.$

Самоподібність

Нехай точка $x\in [0,1]$ задається ланцюговим дробом $x=[0;a_1,a_2,\dots ]$. Тоді збільшення $a_1$ на одиницю, тобто, перехід до $y=[0;a_1+1,a_2,\dots ]$ задається відображенням

$f:x\mapsto y=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{x}{1+x},$

а функція Мінковського після такого перетворення ділиться (як це випливає з її задання через ланцюговий дріб аргументу) навпіл:

$?\left(\frac{x}{1+x}\right)=\frac{?(x)}{2}.(1)$

З іншого боку, зі симетрії відносно $1/2$ медіантної конструкції легко бачити, що

$?(1-x)=1-?(x).(2)$

Перетворивши (1) за допомогою (2), бачимо, що під дією відображення $g(x)=1-f(1-x)=1-\frac{1-x}{2-x}=\frac{1}{2-x}$ функція Мінковського перетворюється як

$?\left(\frac{1}{2-x}\right)=\frac{1+?(x)}{2}.$

Тому графік функції Мінковського переводиться в себе кожним із перетворень

$F(x,t)=(\frac{x}{1+x},\frac{t}{2}),G(x,t)=(\frac{1}{2-x},\frac{1+t}{2}).(3)$

Більш того, об'єднання їх образів — це точно весь початковий графік, оскільки образ $F$ — це частина графіка над відрізком $[0,1/2]$, а образ $G$ — графік над відрізком $[1/2,1]$.

Побудова графіка як фрактала

Графік функції Мінковського можна побудувати як граничну множину для системи ітераційних функцій. А саме, відображення $F$ і $G$, задані формулами (3), зберігають графік функції Мінковського і переводять одиничний квадрат всередину себе. Тому послідовність множин $X_n$, визначена рекурсивно співвідношеннями

$X_0=[0,1]\times [0,1],X_{n+1}=F(X_n)\cup G(X_n),$

є спадна за вкладенням послідовність множин, причому графік $\mathrm{\Gamma }=\{(x,?(x))\mid x\in [0,1]\}$ функції Мінковського міститься в будь-якій із них.

Неважко помітити, що $X_n$ є об'єднанням прямокутників висоти $1/2^n$, Тому гранична множина

$X_{\mathrm{\infty }}=\bigcap _n{X}_n$

є графіком деякої функції. Оскільки $\mathrm{\Gamma }\subset X_{\mathrm{\infty }}$, то вони збігаються. Тому графік функції Мінковського це гранична множина системи ітераційних функцій

$F,G:[0,1{]}^2\to [0,1{]}^2.$

Властивості

• Функція Мінковського сингулярна, тобто в майже будь-який (за мірою Лебега) точці $x\in [0,1]$ її похідна існує і дорівнює нулю. Тим самим, міра на $[0,1]$, функцією розподілу якої є функція Мінковського (продовжена нулем на від'ємні числа і одиницею на більші одиниці), сингулярна.
• Функція Мінковського взаємно однозначно переводить раціональні числа на відрізку $[0,1]$ у двійково-раціональні числа на тому ж відрізку.
• Функція Мінковського взаємно однозначно переводить квадратичні ірраціональності на відрізку $[0,1]$ у раціональні числа на тому ж відрізку. Дійсно, число $x$ є квадратичною ірраціональністю тоді і тільки тоді, коли його розклад у ланцюговий дріб, починаючи з деякого моменту, періодичний; з іншого боку, ця періодичність рівносильна періодичності двійкового запису образу — іншими словами, раціональності $?(x)$.
• Графік функції Мінковського переводиться в себе відображеннями $F$ і $G$, заданими (3), а, отже, і їх композиціями.

Література

• Minkowski H. Verhandlungen des III. internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg. — Berlin, 1904.
• Denjoy A. Sur une fonction réelle de Minkowski. — Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1938. — 17. — pp. 105—151.
• Шаблон:Citation, Посилання.
• Шаблон:Citation.
• Кириллов А. А. Повесть о двух фракталах. — М.: МЦНМО, 2009.

Див. також

• Функція Кантора

Посилання

• Шаблон:MathWorld