Функція Ейрі

Графік функцій Ai(x) (червоний) та Bi(x) (синій)

Функція Ейрі Ai(x) — спеціальна функція, названа на честь британського астронома Джорджа Бідделя Ейрі. Функції Ai(x) та пов'язана з нею Bi(x), яка називається функцією Ейрі другого роду, є лінійно незалежними розв'язками диференціального рівняння

$y^{″}-xy=0$,

що називається рівнянням Ейрі. Це найпростіше диференціальне рівняння що має точку, в якій вид розв'язку замінюється з коливального на експоненційний.

Функція Ейрі описує те, як зірка (точкове джерело світла) виглядає в телескопі. Ідеальна точка перетворюється в набір концентричних кіл, в силу обмеженої апертури та хвильової природи світла. Функція Ейрі також є розв'язком стаціонарного рівняння Шредінгера для частки, що рухається в однорідному полі, наприклад, електричному.

Визначення

Для дійсних x, функція Ейрі та функція Ейрі другого роду визначаються інтегралом:

$\mathrm{A}\mathrm{i}(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (\frac{t^3}{3}+xt)dt.$

$\mathrm{B}\mathrm{i}(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-\frac{t^3}{3}+xt)+\sin (\frac{t^3}{3}+xt)dt.$

Виконуючи диференціювання під знаком інтегралу, можна переконатися, що ці функції справді задовольняють рівнянню Ейрі.

$y^{″}-xy=0.$

При $x\to -\mathrm{\infty }$ функція Ейрі другого роду має однакову амплітуду коливань із функцією Ейрі, які, проте, відрізняються протилежною фазою.

Властивості

В точці x=0 функції Ai(x) і Bi(x) та їх похідні мають значення

$\begin{array}{cccc}\mathrm{A}\mathrm{i}(0)& =\frac{1}{3^{2/3}\mathrm{\Gamma }(\frac{2}{3})},& {\mathrm{A}\mathrm{i}}^{\prime }(0)& =-\frac{1}{3^{1/3}\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{3})},\\ \mathrm{B}\mathrm{i}(0)& =\frac{1}{3^{1/6}\mathrm{\Gamma }(\frac{2}{3})},& {\mathrm{B}\mathrm{i}}^{\prime }(0)& =\frac{3^{1/6}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{3})}.\end{array}$

де $\mathrm{\Gamma }(x)$ — гамма-функція. Звідси випливає, що визначник Вронського функцій Ai(x) та Bi(x) дорівнює 1/π.

При додатних x Ai(x) — додатна, опукла функція, яка зменшується експоненційно до 0, а Bi(x) — додатна опукла функція, котра зростає експоненційно. При від'ємних x Ai(x) та Bi(x) коливається навколо нуля із дедалі більшою частотою й дедалі меншою амплітудою. Це підтверджується асимптотичними виразами для функцій Ейрі.

Асимптотичні вирази

При $x\to \mathrm{\infty }$:

$\begin{array}{cc}\mathrm{A}\mathrm{i}(x)& \sim \frac{e^{-\frac{2}{3}{x}^{3/2}}}{2\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}\\ \mathrm{B}\mathrm{i}(x)& \sim \frac{e^{\frac{2}{3}{x}^{3/2}}}{\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}.\end{array}$

При $x\to -\mathrm{\infty }$ :

$\begin{array}{cc}\mathrm{A}\mathrm{i}(-x)& \sim \frac{\sin (\frac{2}{3}{x}^{3/2}+\frac{1}{4}\pi )}{\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}\\ \mathrm{B}\mathrm{i}(-x)& \sim \frac{\cos (\frac{2}{3}{x}^{3/2}+\frac{1}{4}\pi )}{\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}.\end{array}$

Комплексний аргумент

Функція Ейрі може бути аналітично продовжена на комплексну площину за формулою

$\mathrm{A}\mathrm{i}(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }\exp (\frac{t^3}{3}-zt)dt,$

де інтеграл береться по контуру $C$, котрий починається в точці на нескінченності із аргументом −π/3 і закінчується в точці на нескінченності із аргументом π/3. Можна підійти з іншого боку, використовуючи диференціальне рівняння $y^{″}-xy=0$ для продовження Ai(x) та Bi(x) до цілих функцій на комплексній площині.

Асимптотична формула для Ai(x) залишається в силі на комплексній площині, якщо брати головне значення кореня x^2/3 і x не лежить на від'ємній дійсній півосі. Формула для Bi(x) правильна, якщо x лежить в секторі {x∈C : |arg x| < (1/3)π−δ} для деякого додатного δ. Формули для Ai(−x) та Bi(−x) справедливі, якщо x лежить в секторі {x∈C : |arg x| < (2/3)π−δ}.

Із асимптотичної поведінки функцій Ейрі витікає, що обидві вони мають нескінченне число нулів (коренів) на дійсній півосі. У функції Ai(x) на комплексній площині немає інших нулів, а а функція Bi(x) має нескінченне число нулів в секторі {z∈C : (1/3)π < |arg z| < (1/2)π}.

Зв'язок з іншими спеціальними функціями

Для додатних аргументів, функції Ейрі зв'язані з модифікованими функціями Бесселя:

$\begin{array}{cc}\mathrm{A}\mathrm{i}(x)& =\frac{1}{\pi }\sqrt{\frac{1}{3}x}{K}_{1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right),\\ \mathrm{B}\mathrm{i}(x)& =\sqrt{\frac{1}{3}x}(I_{1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)+I_{-1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)).\end{array}$

де I_±1/3 и K_1/3 — розв'язок рівняння $x^2{y}^{″}+x{y}^{\prime }-(x^2+1/9)y=0$.

Для від'ємних аргументів функції Ейрі зв'язані з функціями Бесселя:

$\begin{array}{cc}\mathrm{A}\mathrm{i}(-x)& =\frac{1}{3}\sqrt{x}(J_{1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)+J_{-1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)),\\ \mathrm{B}\mathrm{i}(-x)& =\sqrt{\frac{1}{3}x}(J_{-1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)-J_{1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)).\end{array}$

де J_±1/3 — розв'язок рівняння $x^2{y}^{″}+x{y}^{\prime }+(x^2-1/9)y=0$.

Функції Скорера є розв'язками рівняння $y^{″}-xy=1/\pi$. Вони також можуть бути виражені через функції Ейрі

$\begin{array}{cc}\mathrm{G}\mathrm{i}(x)& =\mathrm{B}\mathrm{i}(x)\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{A}\mathrm{i}(t)dt+\mathrm{A}\mathrm{i}(x)\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{B}\mathrm{i}(t)dt,\\ \mathrm{H}\mathrm{i}(x)& =\mathrm{B}\mathrm{i}(x)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\mathrm{A}\mathrm{i}(t)dt-\mathrm{A}\mathrm{i}(x)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\mathrm{B}\mathrm{i}(t)dt.\end{array}$

Історія

Функція Ейрі названа на честь британського астронома Джорджа Бідделя Ейрі, котрий зіткнувся з нею при оптичних дослідженнях (1838 р.). Позначення Ai(x) запровадив Гарольд Джеффрі.

Посилання

• Розділ AI: Функції Ейрі і споріднені функції в Цифровій бібліотеці математичних функцій.

Література

• Ландау Л. Д., Лившиц Е. М.: Квантовая механика, 1989 Розділ: Математические дополнения
• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun (1954). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, ( § 10.4).
• Airy (1838). On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 6, 379—402.
• Olver (1974). Asymptotics and Special Functions, Chapter 11. Academic Press, New York.